前言
长链剖分是很早以前就听\(hl666\)神仙说过的算法，好像在处理与树上深度有关的问题时非常有用，而且还可以用于优化树形\(DP\)。
现在为了肝希望而下定决心去学一学。
什么是长链剖分？
其概念可以参考树链剖分（重链剖分）。
根据重链剖分的定义，重节点表示\(Size\)最大的子节点。
而我们的长链剖分中，长节点表示到叶节点链最长的子节点。
其余部分的定义是与树剖相类似的，因此没什么好讲。
典型应用\(1\)：\(O(1)\)求\(k\)级祖先
下面，我们借助一个典例，来进一步了解一下长链剖分，即如何通过\(O(logn)\)的预处理，来\(O(1)\)求出\(k\)级祖先。
首先我们要知道一个性质：任意一个点\(k\)级祖先所在长链长度大于等于\(k\)。
证明：假设长度小于\(k\)，则从该祖先到该节点的链的长度就大于这条长链的长度，与长链的定义不符，故假设不成立，原命题得证。
接下来，我们一开始先通过倍增，求出\(fa_{i,j}\)表示\(i\)的\(2^j\)级祖先。
而与此同时，对于每条长链的顶点，我们依次分别用两个\(vector\ u\)和\(d\)存下其祖先节点和长链上的所有节点。
然后，求答案时，设\(k\)的最高位为第\(hb\)位（\(HighestBit\)），则我们先找到\(x\)的\(k\ xor\ 2^{hb}\)级祖先\(f\)，并设\(top_f\)为\(f\)所在长链的顶点。
下一步，我们比较\(dep_f-dep_{top_f}\)与\(k\ xor\ 2^{hb}\)，如果\(dep_f-dep_{top_f}\ge k\ xor\ 2^{hb}\)，说明最终答案在这条长链上，否则说明是顶点的祖先。
如果在这条长链上，返回\(d_{top_f,(dep_f-dep_{top_f})-(k\ xor\ 2^{hb})}\)，否则返回\(u_{top_f,(k\ xor\ 2^{hb})-(dep_f-dep_{top_f})}\)。
代码如下：
#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 300000
#define Log 20
#define add(x,y) (e[++ee].nxt=lnk[x],e[lnk[x]=ee].to=y)
using namespace std;
int n,ee,lnk[N+5];struct edge {int to,nxt;}e[N<<1];
class FastIO
{
private:
#define FS 100000
#define tc() (A==B&&(B=(A=FI)+fread(FI,1,FS,stdin),A==B)?EOF:*A++)
#define pc(c) (C^FS?FO[C++]=c:(fwrite(FO,1,C,stdout),FO[(C=0)++]=c))
#define tn (x<<3)+(x<<1)
#define D isdigit(c=tc())
int T,C;char c,*A,*B,FI[FS],FO[FS],S[FS];
public:
I FastIO() {A=B=FI;}
Tp I void read(Ty& x) {x=0;W(!D);W(x=tn+(c&15),D);}
Tp I void write(Ty x) {W(S[++T]=x%10+48,x/=10);W(T) pc(S[T--]);}
Ts I void read(Ty& x,Ar&... y) {read(x),read(y...);}
Tp I void writeln(Con Ty& x) {write(x),pc('\n');}
I void clear() {fwrite(FO,1,C,stdout),C=0;}
#undef D
}F;
class LongChainDissection//长链剖分
{
private:
int fa[N+5][Log+5],son[N+5],dep[N+5],len[N+5],top[N+5],hb[N+5];
vector<int> u[N+5],d[N+5];
I void dfs1(CI x)//第一遍搜索
{
RI i;for(i=1;i<=Log;++i) fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
for(i=lnk[x];i;i=e[i].nxt) e[i].to^fa[x][0]&&
(
dep[e[i].to]=dep[fa[e[i].to][0]=x]+1,
dfs1(e[i].to),len[e[i].to]>len[son[x]]&&(son[x]=e[i].to)
);len[x]=len[son[x]]+1;
}
I void dfs2(CI x,RI t)//第二遍搜索
{
RI i;for(top[x]=(t?t:t=x),i=lnk[x];i;i=e[i].nxt)
e[i].to^fa[x][0]&&(dfs2(e[i].to,e[i].to^son[x]?0:t),0);
if(x^t) return;
for(i=x;i;i=fa[i][0]) u[x].push_back(i);//记录祖先
for(i=x;i;i=son[i]) d[x].push_back(i);//记录长链上节点
}
public:
I void Init() {dfs1(1),dfs2(1,0);for(RI i=1,t=-1;i<=n;++i) (i>>t+1)&1&&++t,hb[i]=t;}//初始化
I int Anc(RI x,RI y)//求x的y级祖先
{
if(y>dep[x]) return 0;if(!y) return x;if(x=fa[x][hb[y]],!(y^=1<<hb[y])) return x;//特判几种情况
RI t=dep[x]-dep[top[x]];return t>=y?d[top[x]][t-y]:u[top[x]][y-t];//判断是否在链上，从而确定对应答案
}
}D;
int main()
{
RI Qtot,i,x,y;for(F.read(n),i=1;i^n;++i) F.read(x,y),add(x,y),add(y,x);//建边
D.Init(),F.read(Qtot);W(Qtot--) F.read(x,y),F.writeln(D.Anc(x,y));//处理询问
return F.clear(),0;
}典型应用\(2\)：优化\(DP\)
下面给出一道长链剖分优化\(DP\)的例题：【CF1009F】Dominant Indices。
标签：长链,剖分,dep,top,笔记,hb,define 来源： https://www.cnblogs.com/chenxiaoran666/p/LongChainDissection.html
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