除了在纸笔媒介系统下以书面符号形式进行数学计算外，从一开始我们也设计和制造计算工具，利用这些工具来进行数学计算。 现代计算机是计算工具的最新产品。上世纪三十年代，英国数学家图灵（Alan Mathison Turing，1912.6-1954.6）提出了图灵机的概念，其基本原理如下。
1纸带
用于输入与输出，可以设想为一个无限长的纸带，纸带分为一个个单元格Rn，每个单元格上记录某个字符表中的一个字符R（a），或者为空。
2读写头
读写头可以在纸带上左右移动，其作用是：
读取当前单元格里的字符；
擦除当前单元格里的字符；
将一个字符写入当前单元格。
任意时刻读写头只能在一个单元格上操作,此单元格称为扫描单元格。
图中的控制器可分解为下面的逻辑部件：
3字母表
字母表包括了输入纸带单元格上可以有的字符，读写头可以写入单元格的字符，比如字符集是{“1”“0”“+”“=”“︺”}。
4状态集
图灵机在任意时刻都处于一种状态下，所有的状态构成状态集{s0、s1、s2、s3、s4、s5}，其中包括：
开始状态s0、每次运行的开始都处于此状态；
停机状态s5、当图灵机进入此状态时，机器就停止运行，此状态下纸带留下的字符为计算结果或者问题无解。
5控制规则
读写头读取当前单元格的字符，结合当前机器的状态，可决定：
一、图灵机的新状态；
二、图灵机的响应操作，包括：
擦除：擦除当前单元格的内容；
写入：在当前单元格写入字符集中的一个字符；
移动：向左移动或向右移动。
图灵机的操作可抽象为：（（当前状态、当前读入）→（新状态、当前写入、移动方向））。一个图灵机可能的（当前状态、当前读入）组合称为其格局，它们对应的控制规则决定了图灵机的行为。我们构造个简单的例子，这个例子是二进制个位数的加法运算。设计七种状态：（整体可以有不同的设计）
s0：初始状态；
s1：被加数=1；
s2：被加数=0；
s3：被加数、加数=1；
s4：被加数、加数不一致；
s5：被加数、加数=0；
S6: 停机状态。
字符表为{“1”“0”“+”}。
“擦除”操作表示清空单元格内容。
可制定的规则如下：
|
原状态 |
读取字符 |
写入字符 |
移动方向 |
目标状态 |
|
s0 |
1 |
1 |
右 |
S1 |
|
s0 |
0 |
擦除 |
右 |
S2 |
|
S1 |
+ |
+ |
右 |
S1 |
|
S2 |
+ |
+ |
右 |
S2 |
|
S1 |
1 |
擦除 |
左 |
S3 |
|
S1 |
0 |
擦除 |
左 |
S4 |
|
S2 |
1 |
1 |
左 |
S4 |
|
S2 |
0 |
擦除 |
左 |
S5 |
|
S3 |
+ |
0 |
无作用 |
S6 |
|
S4 |
+ |
擦除 |
无作用 |
S6 |
|
S5 |
+ |
擦除 |
无作用 |
S6 |
|
|
|
|
|
|
纸带上的输入是字符串“1+0=”，将进行的过程如下：
|
过程 |
开始 |
结束 |
状态 |
|
1 |
【1】+0 |
1+0 |
S0→s1 |
|
2 |
1【+】0 |
1+0 |
S1 |
|
3 |
1+【0】 |
1+ |
S1→s4 |
|
4 |
1【+】 |
1 |
S6 |
注：【】符号表示括号中的字母在当前单元格。
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