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Goodbye 2018 A~F 题解

2022-09-14 12:00:21  阅读:233  来源: 互联网

标签:le Goodbye min 题解 sum 2018 https ubuntu com


比赛链接:https://codeforc.es/contest/1091

A

黄色的最多有 \(\min(y,b-1,r-2)\) 个,然后直接输出答案。

代码:https://pastebin.ubuntu.com/p/dqJnf89gdn/

B

其实答案就是所有向量相加后横纵坐标分别除以 \(n\)。

注意开 long long

代码:https://pastebin.ubuntu.com/p/SpJbD5X8Jj/

C

枚举因数,然后就是一个等差数列求和。

将所有结果存下来后排序去重输出即可。

代码:https://pastebin.ubuntu.com/p/H7ZYXBDyN6/

D

首先,每一个排列单独拿出来肯定可行,这部分答案为 \(n!\)。

然后考虑对于一个排列,它的后 \(i\) 位与下一个排列的前 \(n-i\) 位构成一个排列的条件。

不难发现其实就是后 \(i\) 位不是递减的。

所以我们枚举 \(i\),在后 \(i\) 位中选若干个数出来重排使得它们不是递减,对于前面的数可以任意重排,那么答案也就是

\[\sum\limits_{i=2}^{n-1}\binom{n}{i}(i!-1)(n-i)! \]

代码:https://pastebin.ubuntu.com/p/tF9cBzvXhk/

E

考虑对于一个序列 \(\{d_i\}\),它是一个简单图的合法度数序列的条件。

首先由握手定理得,\(\sum d_i\) 肯定要是偶数。

有一个 \(\text{Havel-Hakimi}\) 算法,它指出这个问题可以贪心构造。

即将所有点的度数递减排序,然后每次把度数最大的点(称为 \(1\) 号点)拿出来,向其他度数次大的 \(d_1\) 个点连边,那么序列就会从 \(\{d_1,d_2,\dots,d_n\}\) 变成 \(\{d_2-1,d_3-1,\dots,d_{d_1+1}-1,d_{d_1+2},\dots,d_n\}\)。最后会变成两点一边。

还有一个 \(\text{Erdős–Gallai}\) 定理。也是将序列递减排序,那么它可简单图化当且仅当:

\[\forall 1\le i\le n,\sum\limits_{j=1}^i d_j\le i(i-1)+\sum\limits_{j=i+1}^n\min(i,d_j) \]

其实应该还算好理解,右边是前 \(i\) 个点的边数上界,即完全图 + 后面的点和它的连边。

有向图也有一个类似的:

令 \(n\) 个点按出度降序排列,出度与入度分别为 \(\{a\},\{b\}\),\(n\) 个点能形成有向图当且仅当:

\[\forall 1\le k\le n,\sum\limits_{i=1}^k a_i\le \sum\limits_{i=1}^k \min(b_i,k-1)+\sum\limits_{i=k+1}^n \min(b_i,k) \]

参考:https://www.cnblogs.com/Grice/p/12894688.html

在本题中,还有一个性质:因为 \(d_{n+1}\) 的奇偶性已经确定,所以满足条件的 \(d_{n+1}\) 一定是一段区间里奇偶性相同的若干个数。

那么我们就可以二分出上下界。具体的,在 check 函数里使用插入排序,然后依次校验那个式子,然后我们可以得出当前的 \(mid\) 要调大还是调小。

代码:https://pastebin.ubuntu.com/p/PBwzbbGsZv/

F

首先,我们在草上走水里游一定比积蓄能量然后在草上和水上飞更优。

可以直接模拟这个过程。然而可能会遇到飞的时候能量不够的情况,这时我们就可以在之前草上或水里增加能量。如果有水就优先在水里游,因为消耗的时间更少。

最后可能会有能量多出来的情况,这个时候就需要在草上或水上飞来减少时间。

每次减少时间都会消耗 \(2\) 的能量。因为我们不但没有得到能量,还减少了能量。

最优策略肯定是优先在草上飞。

记录当前走过的草的长度 \(gr\),那么能够在草上飞的时间就是 \(\min(gr,\frac{stamina}{2})\),其中 \(stamina\) 为能量值。

需要注意 \(gr\) 要时刻与 \(stamina\) 取 \(\min\),因为后面可能会出现要飞的时候能量不够的情况。

在水上飞的时间就是 \(stamina-\min(gr,\frac{stamina}{2})\) 了。

为了避免浮点误差,我们可以将 \(gr\) 和 \(stamina\) 全部 \(\times 2\)。

代码:https://pastebin.ubuntu.com/p/hb9CtJhsBF/

标签:le,Goodbye,min,题解,sum,2018,https,ubuntu,com
来源: https://www.cnblogs.com/xsl19/p/goodbye2018-a-to-f.html

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