ICode9

精准搜索请尝试: 精确搜索
首页 > 其他分享> 文章详细

Matrix-Tree Theorem

2022-09-12 22:30:50  阅读:71  来源: 互联网

标签:typedef Matrix mathit Tree long cdots Theorem cases define


简介

矩阵树定理用来求无向图生成树个数,或者有向图指定根的内向树、外箱树个数。

这东西大概是 useless,但是毕竟正式比赛考过(联合省选 2020,sto wzj52501 orz),所以还是学一学。

全文临摹 OI-Wiki。

无向图

对于一张无向图 \(G\),定义其度数矩阵 \(D\):

\[D_{ij}=\begin{cases}\deg(i), &i=j\\0, &i\neq j\end{cases}\\ \]

令 \(e(i,j)\) 表示点 \(i\) 到点 \(j\) 的路径数量,定义 \(G\) 的邻接矩阵 \(A\):

\[A_{ij}=\begin{cases}0,&i=j\\e(i,j),&i\neq j\end{cases} \]

\(G\) 的基尔霍夫矩阵(Kirchhoff's matrix)\(L=D-A\)。

那么图 \(G\) 的生成树个数 \(t\) 由下列式子求得:

\[t=\det L\binom{1,2,\cdots,k-1,k+1,\cdots,n}{1,2,\cdots,k-1,k+1,\cdots,n} \]

\(L\binom{1,2,\cdots,k-1,k+1,\cdots,n}{1,2,\cdots,k-1,k+1,\cdots,n}\) 表示 \(L\) 保留行列编号为 \(1,2,\cdots,k-1,k+1,\cdots,n\) 的元素的 \(n-1\) 阶主子式。由于无向图基尔霍夫矩阵的性质,这里 \(k\) 可以取任意值。

有向图

对于外向树而言,\(\deg(i)\) 表示 \(i\) 的入度,内向树反过来。

然后求:

\[t=\det L\binom{1,2,\cdots,\mathit{root}-1,\mathit{root}+1,\cdots,n}{1,2,\cdots,\mathit{root}-1,\mathit{root}+1,\cdots,n} \]

即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef vector<int> vi;
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
inline int read()
{
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
const int N=610,mod=1e9+7;
void Add(int &x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
void Sub(int &x,int y){x-=y;if(x<0)x+=mod;}
int a[N][N],deg[N];
int main()
{
	int n=read(),m=read(),op=read(),r=1;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u=read(),v=read(),w=read();
		if(u==v)continue;
		if(op==0)Add(deg[u],w),Add(deg[v],w),Sub(a[u][v],w),Sub(a[v][u],w);
		else Add(deg[v],w),Sub(a[u][v],w);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)Add(a[i][i],deg[i]);
	for(int i=1;i<n;i++)for(int j=1;j<n;j++)a[i][j]=a[i+1][j+1];
	n--;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
		{
			while(a[i][i])
			{
				int x=a[j][i]/a[i][i];
				for(int k=1;k<=n;k++)Sub(a[j][k],1ll*a[i][k]*x%mod);
				for(int k=1;k<=n;k++)swap(a[i][k],a[j][k]);
				r^=1;
			}
			for(int k=1;k<=n;k++)swap(a[i][k],a[j][k]);
			r^=1;
		}
	}
	int ans=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)ans=1ll*ans*a[i][i]%mod;
	if(!r)ans=(mod-ans)%mod;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

标签:typedef,Matrix,mathit,Tree,long,cdots,Theorem,cases,define
来源: https://www.cnblogs.com/juruo-zzt/p/16687541.html

本站声明: 1. iCode9 技术分享网(下文简称本站)提供的所有内容,仅供技术学习、探讨和分享;
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用,纯属内容发起人的个人观点,与本站观点和立场无关;
3. 关于本站的所有言论和文字,纯属内容发起人的个人观点,与本站观点和立场无关;
4. 本站文章均是网友提供,不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属;如您发现该文章侵犯了您的权益,可联系我们第一时间进行删除;
5. 本站为非盈利性的个人网站,所有内容不会用来进行牟利,也不会利用任何形式的广告来间接获益,纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。

专注分享技术,共同学习,共同进步。侵权联系[81616952@qq.com]

Copyright (C)ICode9.com, All Rights Reserved.

ICode9版权所有