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给定一张图， \(q\) 组询问从 \(s_i\) 到 \(t_i\) 路径上最大边权的最小值。

\(n < 10^4\)，\(m < 5 \times 10^4\)，\(q<3\times10^4\)。

首先，所有询问的答案均在原图的最小生成树上，是最小生成树的瓶颈边，因为任何不在最小生成树上的边一定比原边更大，然后问题就变成寻找树上2点的路径上边权最大值，直接用倍增处理LCA时多处理 \(g[i][j]\) 来记录点 \(i\) 的 \(2^j\) 祖先中所有路径的最大值，然后在跳LCA时得出答案。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,q,m;

struct edge{
	int to,w,from;
	bool operator <(const edge A)const{
		return w>A.w;
	}
}e[50005];

struct edge1{
	int to,nxt,w;
}e1[20005];

int head[10005],ecnt1,fa[10005],f[10005][18],g[10005][18],dep[10005],bj[10005];

int findfa(int x){
	return (fa[x]==x)?x:fa[x]=findfa(fa[x]);
}


inline void adde1(int u,int v,int w){
	e1[++ecnt1].nxt=head[u];
	e1[ecnt1].to=v;
	e1[ecnt1].w=w;
	head[u]=ecnt1;
}

void dfs(int u,int fa){
    bj[u]=1;
	for(int i=1;i<=17&&fa!=0;++i){
		f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
		g[u][i]=min(g[u][i-1],g[f[u][i-1]][i-1]);
	}
	for(int i=head[u];i;i=e1[i].nxt){
		int v=e1[i].to;
		if(v==fa)
			continue;
		f[v][0]=u;
		g[v][0]=e1[i].w;
		dep[v]=dep[u]+1;
		dfs(v,u);
	}
}

int lca(int x,int y){
	int ret=1e9;
	if(dep[x]<dep[y])
		swap(x,y);
	for(int i=17;i>=0;--i){
		if(dep[f[x][i]]>=dep[y]){
			ret=min(ret,g[x][i]);
			x=f[x][i];
		}
	}
	if(x==y)
		return ret;
	for(int i=17;i>=0;--i){
		if(f[x][i]!=f[y][i]){
			ret=min(ret,g[x][i]);
			ret=min(ret,g[y][i]);
			x=f[x][i];
			y=f[y][i];
		}
	}
	ret=min(ret,g[x][0]);
	ret=min(ret,g[y][0]);
	return ret;
}

int main(){
	memset(g,0x3f,sizeof g);
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;++i){
		int x,y,w;
		scanf("%d %d %d",&x,&y,&w);
		e[i].from=x;
	    e[i].to=y;
	    e[i].w=w;
	}
	for(int i=1;i<=n;++i){
		fa[i]=i;
	}
	sort(e+1,e+m+1);
	for(int i=1;i<=m;++i){
		if(findfa(e[i].from)!=findfa(e[i].to)){
			fa[findfa(e[i].from)]=findfa(e[i].to);
			adde1(e[i].from,e[i].to,e[i].w);
			adde1(e[i].to,e[i].from,e[i].w);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;++i){
		if(bj[i]==0){
			dfs(i,0);
		}
	}
	scanf("%d",&q);
	while(q--){
		int x,y;
		scanf("%d %d",&x,&y);
		if(findfa(x)!=findfa(y))
			puts("-1");
		else{
			printf("%d\n",lca(x,y));
		}
	}
	return 0;
}

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来源： https://www.cnblogs.com/zhouzizhe/p/16642702.html

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