标签：剩余 frac int 定理 exCRT 1k mod inv equiv
求解如下形式的一元线性同余方程组（其中 \(n_1, n_2, ···, n_k\) 不 两两互质）
\[\left\{ \begin{matrix}x & \equiv & a_1 & (mod \ n_1)\\ x & \equiv & a_2 & (mod \ n_2)\\ \vdots\\ x & \equiv & a_k & (mod \ n_k)\end{matrix} \right. \]- 推导：从简单入手，先考虑同于方程组只有两个式子的情况
变形：
\[x = c_1 + m_1k_1 \]\[x = c_2 + m_2k_2 \]联立：
\[c_1 + m_1k_1 = c_2 + m_2k_2 \]移项：
\[m_1k_1 = c_2 - c_1 + m_2k_2 \]用 \((a, b)\) 表示 \(a\) 和 \(b\) 的最大公约数。
方程有解的条件为 \((m_1, m_2)|(c_2-c_1)\).
对于上面的方程，两边同除 \((m_1,m_2)\)
转换：
\[\frac{m_1}{(m_1,m_2)}k_1\equiv\frac{c_2-c_1}{(m_1,m_2)}(mod\ \frac{m_2}{(m_1,m_2)}) \]同余式两边同除 \(\frac{m_1}{(m_1,m_2)}\)
\[k_1\equiv inv(\frac{m_1}{(m_1,m_2)},\frac{m_2}{(m_1,m_2)})×\frac{(c_2-c_1)}{(m_1,m_2)}(mod\ \frac{m_2}{(m_1,m_2)}) \]\[k_1 = inv(\frac{m_1}{(m_1,m_2)},\frac{m_2}{(m_1,m_2)})×\frac{(c_2-c_1)}{(m_1,m_2)}+ \frac{m_2}{(m_1,m_2)} × y \]\(inv(a, b)\) 表示 \(a\) 在模 \(b\) 意义下的逆元。
将 \(k_1\) 代入 \(x = c_1 + m_1k_1\)
得：
推广一下
我们每次把两个同余式合并，求解之后得到一个新的同余式。再把新的同余式和其他的联立，最终就可以求出满足条件的解。
code
const int N = 1e5 + 10;
int n, M[N], C[N];
int gcd(int a, int b)
{
return !b ? a : gcd(b, a % b);
}
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if (!b)
{
x = 1, y = 0;
return a;
}
int d = exgcd(b, a % b, y, x);
y -= a / b * x;
return d;
}
int inv(int a, int b)
{
int x, y;
exgcd(a, b, x, y);
return x < 0 ? x += b : x;
}
int main()
{
rd(n);
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
rd(M[i]), rd(C[i]);
bool flag = 1;
for (int i = 2; i <= n; i ++ )
{
int M1 = M[i - 1], M2 = M[i], C1 = C[i - 1], C2 = C[i], t = gcd(M1, M2);
if ((C2 - C1) % t != 0)
{
flag = 0;
break;
}
M[i] = (M1 * M2) / t;
C[i] = (inv(M1 / t, M2 / t) * (C2 - C1) / t) % (M2 / t) * M1 + C1;
C[i] = (C[i] % M[i] + M[i]) % M[i];
}
if (flag)
print(C[n]);
else puts("");
return 0;
}
标签：剩余,frac,int,定理,exCRT,1k,mod,inv,equiv 来源： https://www.cnblogs.com/kroyosh/p/16611625.html
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。