标签：C220816C matrix int auto 复杂度 pos 时间 区间
#C220816C. 时间复杂度
C220816C 校内模拟赛
背景
注意：本题采用捆绑测试。
题目描述
在你的帮助下，小凯成功找到了宝藏价值最大的方案。接下来他在闲逛时被一个游戏机吸引了。
游戏机中共有 \(n\) 个带颜色的小球，第 \(i\) 个小球的颜色是 \(a_i\) 。小凯需要选出一个区间（假设长度为 \(l\) ），满足对于任意颜色的小球：
- 要么在这个区间中出现 \(0\) 次（即不出现）；
- 要么在这个区间中出现次数 \(≥b_l\) 。
其中 \(b_l\) 是一个给定的数组，且满足对于任意 \(i<j\) 有 \(b_i≥b_j\) 。如果最终小凯选出的区间越长，获得的奖励就越大。
小凯想用 OI 知识解决这个问题，但是由于水平问题，他只会 \(O(n^3)\)，而游戏机中的球非常多。因此他又来厚颜无耻地找你，希望你能帮他优化时间复杂度，解决这个问题。
即求出，最长满足要求的区间长度是多少。特别的，若问题无解，输出 \(0\) 。
输入格式
第一行共一个数 \(n\) 。
第二行共 \(n\) 个数字，表示 \(a_i\)。
第三行共 \(n\) 个数字，表示 \(b_i\) 。
输出格式
输出共一个数字，表示最长的合法区间长度。
样例
输入数据 1
7
2 0 4 0 4 3 2
3 3 3 2 2 2 2
输出数据 1
4
样例说明
选 \(0\) \(4\) \(0\) \(4\) 显然最优。
数据规模与约定
subtask1(10pts) ：n≤300。
subtask2(15pts) ：n≤1500。
subtask3(20pts) ：n≤100000。
subtask4(20pts) ：保证所有 \(b_i\) 都相等。
subtask5(35pts) ：无特殊限制。
对于 \(100%\) 的数据，\(n≤10^6；0≤a_i≤n；1≤b_i≤n+1\)，且满足对于任意 \(i<j\) 有 \(b_i≥b_j\)。
Tips： 由于输入输出量较大，建议使用快速输入输出。
Solution
题目中有一个及其重要的条件，就是 \(b\) 数组是不严格递减的，同时长度是在单调上升的，所以就会有一个发现：小区间的限制比大区间的限制更多。
假如有一个区间 \([l,r]\) 包含 \(pos\)，并且这个区间只有 \(pos\) 的数量是小于 \(b[r-l+1]\) 的，那么会发现因为小区间的 \(b\) 值只会比大区间更大，而 \(pos\) 的数量只会比大区间的少，所以如果大区间因为 \(pos\) 的数量太少而无法成为合法区间，那么这个大区间内所有包含 \(pos\) 的小区间也不会是合法的。根据这点就诞生了这一种做法。
将原序列作为一个大区间，然后在这个大区间中找到所有导致这个大区间不合法的 \(pos\) 值，并依照这些 \(pos\) 值将大区间拆成很多小区间，递归处理，如果找不到这样的 \(pos\)，那么当前的区间就是一个合法区间，可以用来更新答案。
用样例来解释，第一轮：
\[\begin{matrix} 2&0&4 &0 &4 &3 &2\\ &&&&&\uparrow \end{matrix} \]划分成为：
\[\begin{matrix} (2&0&4&0&4)&\square&(2) \end{matrix} \]这两个区间，然后递归进入这两个区间（右侧那个单 \(2\) 的显然是不可能，所以就不继续往下画图了）。
\[\begin{matrix} 2&0&4&0&4\\ \uparrow \end{matrix} \]划分成为：
\[\begin{matrix} \square&(0&4&0&4) \end{matrix} \]再次递归进入新的小区间，发现是一个合法的区间，更新答案。
可以得知每个数出现次数总共有 \(\sqrt{n}\) 种情况，所以可以得知这种做法的时间复杂度是 \(\mathcal O(n\sqrt n)\) 的，可以通过 subtask3，但无法通过 subtask5。
考虑怎么优化这种做法。不难发现可以将一次找完大区间内所有的 \(pos\) 值这一步带来了巨大的时间开销，这一步可以被替换为找到大区间中的任意一个 \(pos\) 值来对大区间进行分割，这样的正确性是可以保证的，并且相比之前那种做法还更易实现。
为了使找 \(pos\) 的过程耗时尽可能少，我们最好要选到最靠近大区间端点的 \(pos\) 值，然后以这个 \(pos\) 值来分割区间。但是因为我们不知道这个 \(pos\) 到底靠哪一边，所以最坏的情况下仍然会是 \(\mathcal O(n)\) 的。这时候有一种比较神奇的做法，类似于 \(\texttt{meet in the middle}\)，是在当前大区间的左右端点都整一个指针同时向中间移动，这样最坏情况下也只会跑一半区间的长度。到了这里，我们已经将大区间按照 \(pos\) 分割成为了一个小区间和另一个稍大的区间（这个稍大的区间之后就称为大区间了）。这时，有一种类似 \(\texttt{dsu on tree}\) 的启发式合并思想，先将小的区间清除对答案的贡献，然后计算大区间的贡献并保留，再计算小区间的贡献并且保留对答案的影响（与 \(\texttt{dsu on tree}\) 的基本思想一致）。不难发现，这种情况下最坏的分治树也只会变成线段树的样子，所以时间复杂度就是启发式合并的 \(\mathcal O(n\log n)\)。
Code
#include<bits/stdc++.h>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof a)
using namespace std;
void read(auto &k)
{
k=0;auto flag=1;char b=getchar();
while (!isdigit(b)) {flag=(b=='-')?-1:1;b=getchar();}
while (isdigit(b)) {k=k*10+b-48;b=getchar();}
k*=flag;
}
void write(auto x) {if (x<0) {putchar('-');write(-x);return;}if (x>9) write(x/10);putchar(x%10+'0');}
void writewith(auto x,char c) {write(x);putchar(c);}
const int _SIZE=1e6;
int n,a[_SIZE+5],b[_SIZE+5];
int cnt[_SIZE+5],res;//cnt是桶，res记录答案
void calc(int l,int r)
{
if (r<l || r-l+1<=res)//如果区间非法或者是比答案小，那么直接清除贡献
{
for (int i=l;i<=r;i++) --cnt[a[i]];
return;
}
if (l==r)//单点，更新答案后清除贡献
{
--cnt[a[l]];
if (b[1]==1) res=max(res,1);
return;
}
int p=l,q=r,pos=-1,target=b[r-l+1];
while (p<=q)//双指针寻找pos值
{
if (cnt[a[p]]<target) {pos=p;break;}
if (cnt[a[q]]<target) {pos=q;break;}
q--,p++;
}
if (pos<0)//不存在pos值
{
res=max(res,r-l+1);//更新答案
for (int i=l;i<=r;i++) --cnt[a[i]];//清除贡献
return;
}
if (pos<=((l+r)>>1))//pos靠左，左侧为小区间
{
for (int i=l;i<=pos;i++) --cnt[a[i]];//清除左侧小区间贡献
calc(pos+1,r);//计算右侧贡献
for (int i=l;i<pos;i++) ++cnt[a[i]];//计算左侧贡献
calc(l,pos-1);
}
else
{
for (int i=pos;i<=r;i++) --cnt[a[i]];//同上
calc(l,pos-1);
for (int i=pos+1;i<=r;i++) ++cnt[a[i]];
calc(pos+1,r);
}
}
signed main()
{
read(n);
for (int i=1;i<=n;i++) read(a[i]),cnt[a[i]]++;
for (int i=1;i<=n;i++) read(b[i]);
calc(1,n);//原序列直接作为大区间
writewith(res,'\n');
return 0;
}
标签：C220816C,matrix,int,auto,复杂度,pos,时间,区间 来源： https://www.cnblogs.com/hanx16msgr/p/16592933.html
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。