快速幂

2022-08-16 12:31:30 阅读：129 来源： 互联网

快速幂

可以快速求在O(log $k$)复杂度下出 $a^{k}$mod $p$ 的结果($1\leq a,p,k\leq 10^{9} $)

如果是n组数据，时间复杂度就是O($n * log k$)

基本思路

1.先预处理出来$a^{2^{0}},a^{2^{1}},...,a^{2^{logk}}$这k个数
2.将$a^{k}$用$a^{2^{0}},a^{2^{1}},...,a^{2^{logk}}$这k个数来组合,即组合出$a^{k}$ = $a^{2^{x1}}*a^{2^{x2}}*...*a^{2^{xt}}$ = $a^{2^{x1}+2^{x2}+...+2^{xt}}$

ps: 为什么 $k$ 可以用 ${2^{0}},{2^{1}},{2^{2}},...{2^{logk}}$ 中的数凑出来?
答: $2^{{log_{2}}k} = k$ 所以一定可以凑出k

如何组合出$a^{k}$

将k看成二进制形式

如果最后一位为1则乘上当前位的权，并将权乘个a倍变成下一个位的权

例子：凑$a^{5}$,5写为二进制为101

1.最后一位为1，此位权为$a^{2^{0}}$,res = 1*$a^{2^{0}}$，将权改成a倍变成下一位权$a^{2^{1}}$，将二进制数101最后一位去掉变成二进制数10

2.最后一位为0，此位权为$a^{2^{1}}$,res = 1*$a^{2^{0}}$不变，将权改成a倍变成下一位权$a^{2^{2}}$，将二进制数10最后一位去掉变成二进制数1

3.最后一位为1，此位权为$a^{2^{2}}$,res = 1*$a^{2^{0}} * a^{2^{2}}$，将权改成a倍变成下一位权$a^{2^{3}}$，将二进制数10最后一位去掉变成二进制数1

所以 res = $a^5$ 就可以计算出来

注意

凡是中间结果可能会溢出的地方，都要特殊处理:

1.快速幂的结果都要开long long,快速幂计算过程中res和权要开long long

2.可能溢出的地方(res、权)都要取模

代码

#include<iostream>

using namespace std;

typedef long long LL;

LL qmi(int a,int b,int p)
{
    LL res = 1 % p;
    while(b)
    {
        if(b & 1) res = res * a % p;
        a = (LL)a * a % p; // 这里要开LL
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    
    while(n --)
    {
        int a,b,p;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&p);
        printf("%lld\n",qmi(a,b,p));
    }
    
    return 0;
}

标签：二进制,res,LL,long,一位,int,快速
来源： https://www.cnblogs.com/rdisheng/p/16591141.html

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如何组合出\(a^{k}\)

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