标签：集齐 frac 之旅 ll 名字 百事 球星 期望 SHOI2002

做题时间：2022.8.8

\(【题目描述】\)

一共有 \(n\) 个不同的球星的名字，每一个瓶盖上有且仅有一个球星名字，问期望购买多少个瓶盖可以集齐 \(n\) 个球星的名字。

\(【输入格式】\)

一行一个数 \(n\)

\(【输出格式】\)

若答案是整数，则一行输出答案；否则以带分数的形式输出

\(【考点】\)

期望

\(【做法】\)

设 \(f_i\) 表示集齐 \(i\) 个不同球星名字的期望购买数，当前集齐了 \((i-1)\) 个球星名字，若下一次想获得第 \(i\) 个球星名字，概率为 \(\frac{n-(i-1)}{n}\) ，根据概率与期望的关系可知，获得第 \(i\) 个球星所购买的期望瓶盖数为 \(\frac{n}{n-(i-1)}\) ，于是就有：

\[f_i=f_{i-1}+\frac{n}{n-i+1} \]

将递推柿转化为一般柿：

\[ans=n\times \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i} \]

注意一下输出格式即可。

\(【代码】\)

#include<cstdio>
#include<iomanip>

using namespace std;
typedef long long ll;
ll n;
inline ll Max(ll a,ll b){return a>b?a:b;}
inline ll Min(ll a,ll b){return a<b?a:b;}
inline int Bit(ll x)
{
	int cnt=0;
	while(x){
		cnt++;
		x/=10;
	}
	return cnt;
}
void Print(ll p,ll q)
{
	ll s=p/q;
	p=p%q;
	if(p==0){
		printf("%d",s);
		return ;
	}
	int pp=Bit(p),qq=Bit(q);
	int len=Max(pp,qq),k=Bit(s);
	int ed=k+(len-Min(pp,qq))/2;
	
	for(int i=1;i<=ed;i++) printf(" ");
	printf("%lld\n",p);
	
	printf("%lld",s);
	for(int i=1;i<=len;i++) printf("-");
	printf("\n");
	
	for(int i=1;i<=k;i++) printf(" ");
	printf("%lld",q);
	printf("\n");
}
ll gcd(ll a,ll b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}
int main()
{
	~scanf("%d",&n);
	if(n==1){
		printf("1\n");
		return 0;
	}
	if(n==2){
		printf("3\n");
		return 0;
	}
	ll a=1,b=1;
	for(int i=n;i>=2;i--){
		ll p=a*i+b;
		ll q=b*i;
		ll g=gcd(p,q);
		a=p/g,b=q/g;
	}
	ll g=gcd(n,b);
	Print(a*n/g,b/g);
	return 0;
}

标签：集齐,frac,之旅,ll,名字,百事,球星,期望,SHOI2002
来源： https://www.cnblogs.com/Unlimited-Chan/p/16561390.html

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