标签：方案 frac 魔力 sum 枚举 黑球 放置 LOJ6519

LOJ6519 魔力环

Problem

用 \(m\) 个黑色珠子和 \(n-m\) 个白色珠子串一个链，其中黑色珠子不会连续出现超过 \(k\) 个。求方案数。

Solution

首先上 Burnside 引理：\(ans=\frac{1}{n}\sum\limits_{i|\gcd(n,m)}F(i)\varphi(\frac{n}{i})\)。

其中 \(i|\gcd(n,m)\) 可以考虑 \(i|m\) 再考虑 \(i|(n-m)\)，不难想。

\(F(i)\) 表示长为 \(i\) 的环满足条件的染色。都是套路。

关键都在处理 \(F(i)\)。

\(F(i)\) 可以看作是给 \(i\) 个成环的小球中的 \(\frac{mi}{n}\) 个进行染色。

设 \(f(x,y)\) 表示将 \(x\) 个球中的 \(y\) 个染成黑色的合法方案数（即连续染色不超过 \(k\)）。

转化成小球放置问题：在 \(x-y\) 个白球中（且两端之外也能放置）放 \(y\) 个黑球的方案数。

破环成链给我们带来了两端的小球，这让我们很不爽。

于是有了下面这一步转化：

\[f(x,y)=\sum\limits_{i=0}^{k}(i+1)T(y-i,x-y-1) \]

解释：枚举裂开的地方放置的黑球数 \(i\)。把裂开的边界看成一条线，在线的左右放置黑球，并且不考虑旋转等价。那么有 \((i+1)\) 种在裂口放置黑球的方法。

\(T(x,y)\) 表示将 \(x\) 个黑球放进 \(y\) 个盒子里且每个盒子里的球数不超过 \(k\) 个的方案数。

由于在边界放了 \(i\) 个黑球，那么左右白球内部要放 \(y-i\) 个黑球。有 \(x-y\) 个白球，那么有 \(x-y-1\) 个放置位置。

接下来考虑计算 \(T(x,y)\)。

考虑用总方案数减去不合法方案数，因此计算不合法方案数。

对某个盒子强制放进 \(k+1\) 个球，剩下的随便放；对某两个盒子强制放进 \(k+1\) 个球，剩下的随便放......

可以容斥一下算出来，记得乘上二项式系数。\(T(x,y)\) 计算结果见下：

\[T(x,y)=\sum\limits_{i=0}^{\min(\frac{x}{k+1},y)}(-1)^{i}{{y}\choose{i}}H(x-i\times(k+1),y) \]

其中的 \(H(x,y)\) 定义如下：（就是个普通的插板法）

\[H(x,y)={{x+y-1}\choose{y-1}} \]

计算一下时间复杂度。

第一层枚举 \(F(i)\)，\(\gcd(n,m)\) 的约数的规模。

第二层枚举 \(T\)，枚举了 \(k\) 次。

第三层枚举 \(H\)，考虑与第二层合并，规模超不过 \(x,y\)。

啊能过。

要注意一些特殊情况。

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来源： https://www.cnblogs.com/Schucking-Sattin/p/16549365.html

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