标签:P2 P3 Balls P1 19 urn cdot 抽取 得到
You have an urn with four balls of different colors. Randomly you draw two at a time, then painting the first ball to match the second. What is the expected number of drawings before all balls are the same color?
Solution
每次只能选两个球,然后将第一个球的颜色涂成第二个球的颜色。问期望多少步可以将四个颜色不同的球涂成一样的颜色。
不妨假设最开始为 \(1,2,3,4\). 经过一次操作后,得到 \(1,1,3,4\),不妨记为 \(1,1,2,3\),此时为 \(P 1\).
- 如果第一次抽取是 \(1\). 此时得到的仍然是 \(P1\), 而这种概率为 \(2/4=1/2\)
- 第一次抽取 \(2\ or\ 3\),第二次抽取是 \(1\),则得到 \(1,1,1,2\),记为 \(P2\), 此时概率为 \(2\cdot \frac{1}{4}\cdot \cdot\frac{2}{3} = 1/3\)
- 第一次抽取 \(2\ or\ 3\) ,第二次抽取的是 \(3\ or\ 2\), 则得到 \(1,1,2,2\), 记为 \(P3\). 概率为 \(2\cdot 1/4\cdot 1/3 = 1/6\)
所以从 \(P1\) 可以转移到 \(P1,P2,P3\) 这三种状态。考虑 \(P2, P3\) 如何转移。
- \(P2\) 转移的状态同样有: \(P2\) with \(1/2\), \(P3\) with \(1/4\), end with \(1/4\)
- \(P3\) : \(P3\) with \(1/3\), \(P2\) with \(2/3\)
由此得到转移方程:
\[\begin{align} a&=(a+1)/2 + (b+1)/3 + (c+1)/6\\ b&=(b+1)/2 + 1/4 + (c+1)/4\\ c&=(c+1)/3 + (2/3)\cdot(b+1) \end{align} \]得到 \(a=8\). 所以期望的步骤为 \(8+1=9\).
标签:P2,P3,Balls,P1,19,urn,cdot,抽取,得到 来源: https://www.cnblogs.com/xinyu04/p/16538836.html
本站声明: 1. iCode9 技术分享网(下文简称本站)提供的所有内容,仅供技术学习、探讨和分享; 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用,纯属内容发起人的个人观点,与本站观点和立场无关; 3. 关于本站的所有言论和文字,纯属内容发起人的个人观点,与本站观点和立场无关; 4. 本站文章均是网友提供,不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属;如您发现该文章侵犯了您的权益,可联系我们第一时间进行删除; 5. 本站为非盈利性的个人网站,所有内容不会用来进行牟利,也不会利用任何形式的广告来间接获益,纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。