标签：dots sum 反演 choose bmatrix Leftrightarrow 原理
反演原理
给定函数 \(F\to G\) 之间的（求和）关系式，由此推出 \(G\to F\) 的关系式，此二者之间的相互推导就称为反演关系。
定义两个关系矩阵 \(A\) ，来描述求和关系 \(F\) 和 \(G\) 。
\(F[i]=\sum_{j=1}^{i}{A_{i,j}\times G[j]}\Leftrightarrow G[i]=\sum_{j=1}^{i}{B_{i,j}\times F[j]}\)
例 \(1\)：
比如前缀和（\(F[i]=\sum_{j=0}^{i}{G[j]}\)）与差分（\(G[i]=F[i]-F[i-1]\)）之间的相互推导就称为一对反演关系。
于是有 ：
\(A_{i,j}=[j\le i]\)
\(B_{i,j}\) 为
-
\(j=i\)：\(B_{i,j}=1\)
-
\(j=i-1\)：\(B_{i,j}=-1\)
-
\(otherwise：B_{i,j}=0\)
写成矩阵形式有：
\[A=\begin{bmatrix} 1&1&\dots&1&1\\ 1&1&\dots&1&1\\ 1&1&\dots&1&1\\ 1&1&\dots&1&1\\ 1&1&\dots&1&1\\ \end{bmatrix}， B=\begin{bmatrix} 1&-1&\dots&0&0\\ 0&1&\dots&0&0\\ 0&0&\dots&-1&0\\ 0&0&\dots&1&-1\\ 0&0&\dots&0&1\\ \end{bmatrix} \]于是
\[A*B=\begin{bmatrix} 0&0&\dots&0&0\\ 0&0&\dots&0&0\\ 0&0&\dots&0&0\\ 0&0&\dots&0&0\\ 0&0&\dots&0&1\\ \end{bmatrix} \]定理 \(1\)： 两个互为反演的关系矩阵互逆（\(A*B=[i=j]\)）。
代数证明：
设有反演关系 \(F[i]=\sum_{j=1}^{i}{A_{i,j}G[j]}\Leftrightarrow G[i]=\sum_{j=1}^{i}{B_{i,j}F[j]}\)
那么 \(F[i]=\sum_{j=1}^{i}{A_{i,j}\sum_{k=1}^{j}B_{j,k}F[k]}\)
变换枚举顺序 \(\to F[i]=\sum_{j=1}^{i}{F[j]\sum_{k=1}^{j}A_{i,k}B_{k,j}}\)
同理可得：\(\to G[i]=\sum_{j=1}^{i}{G[j]\sum_{k=1}^{j}B_{i,k}A_{k,j}}\)
显然：\(\sum_{k=1}^{j}{A_{i,k}B_{k,j}}=\sum_{k=1}^{j}{B_{i,k}A_{k,j}}=[i=j]\)
证毕。
定理 \(2\)： 一对互逆的矩阵分别数乘 \(c\) 后仍然互逆。
定理 \(3\)： \(-1\) 的幂可以在反演系数中移动。
在恒等式 \(\sum_{k=0}{\{(-1)^{i-k}A_{i,k}\}B_{k,j}}=[i=j]\) 中：
数乘 \((-1)^{j-i}\) 后，由定理 \(2\) 得到 \(\sum_{k=0}{\{(-1)^{j-k}A_{i,k}\}B_{k,j}}\to \sum_{k=0}{\{(-1)^{j}A_{i,k}\}\{B_{k,j}(-1)^k\}}\)
由于：\((-1)^{j-k}=(-1)^{k-j}\) ，于是也有 \(\sum_{k=0}{\{(-1)^{k}A_{i,k}\}\{(-1)^jB_{k,j}\}}\)
举个例子对于二项式反演 \(\displaystyle F(n)=\sum_{i=0}^{n}{(-1)^i{n\choose i}G(i)}\Leftrightarrow G(n)=\sum_{i=0}^{n}{(-1)^i{n\choose i}}F(i)\)
有形式 \(2\)：\(\displaystyle F(n)=\sum_{i=0}^{n}{{n\choose i}G(i)}\Leftrightarrow G(n)=\sum_{i=0}^{n}{(-1)^{n-i}{n\choose i}}F(i)\)
注意一下下标，带入上式即可。
标签：dots,sum,反演,choose,bmatrix,Leftrightarrow,原理 来源： https://www.cnblogs.com/mklzc/p/16508100.html
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