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灰色预测模型

灰色预测的概念

灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面：

• 灰色关联分析。
• 灰色预测：人口预测；灾变预测…
• 灰色决策。
• 灰色预测控制

灰色系统：系统内一部分信息已知，另一部分信息未知，系统内各因素间有不确定的关系。

灰色预测法：

• 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。
• 灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行预测，就是对在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。

灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并可对原始数据进行生成处理来寻找变动的规律，生成有较强规律性的数据排列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。

灰色预测法用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或打到某一特征量的时间。

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灰色预测的四种常见类型：

灰色时间序列预测

​ 即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，后达到某一特征量的时间。

畸变预测

​ 即通过灰色预测模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。

系统预测

​ 通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间相互协调关系的变化。

拓扑预测

​ 将原始数据做曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点。

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灰色关联度与优势分析

灰色关联度

选取参考数列

\[X_{0}=\left\{X_{0}(k) \mid k=1,2, \cdots, n\right\}=\left(X_{0}(1), X_{0}(2), \cdots, X_{0}(n)\right) \]

其中k表示时刻。

假设有m个比较数列

\[X_{i}=\left\{X_{i}(k) \mid k=1,2, \cdots, n\right\}=\left(X_{i}(1), X_{i}(2), \cdots, X_{i}(n)\right)\\\quad(i=1,2, \cdots, m) \]

则称

\[\zeta_{i}(k)=\frac{\min _{i} \min _{k}\left|X_{0}(k)-X_{i}(k)\right|+\rho \max _{i} \max _{k}\left|X_{0}(k)-X_{i}(k)\right|}{\left|X_{0}(k)-X_{i}(k)\right|+\rho \max _{i} \max _{k}\left|X_{0}(k)-X_{i}(k)\right|} \]

为比较数列X_i对参考数列X₀在k时刻的关联系数其中\(\rho \in[0,+\infty)\)为分辨系数。一般来讲，分辨系数\(\rho \in[0,1]\)，由（3）式容易看出，\(\rho\)越大，分辨率越大；\(\rho\)越小，分辨率越小。

式（1）定义的关联系数是描述比较数列与参考数列在某时刻关联程度的一种指标，由于各个时刻都有一个关联系数，因此信息显得过于分散，不便于比较，为此我们给出

\[r_{i}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \zeta_{i}(k) \]

为比较数列X_i对参考数列X₀的关联度。

应该指出的是，公式（3）中的\(\left|X_{0}(k)-X_{i}(k)\right|\)不能区别因素关联是正关联还是负关联，可采取下面办法解决这个问题。记

\[\sigma_{i}=\sum_{k=1}^{n} k X_{i}(k)-\sum_{k=1}^{n} X_{i}(k) \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n} \]

\[\sigma_{n}=\sum_{k=1}^{n} k^{2}-\left(\sum_{k=1}^{n} k\right) 2 / n \]

则当\(\operatorname{sign}\left(\frac{\sigma_{i}}{\sigma_{n}}\right)=\operatorname{sign}\left(\frac{\sigma_{j}}{\sigma_{n}}\right)\)，则\(X_i\)和\(X_j\)为正关联；

则当\(\operatorname{sign}\left(\frac{\sigma_{i}}{\sigma_{n}}\right)=-\operatorname{sign}\left(\frac{\sigma_{j}}{\sigma_{n}}\right)\)，则\(X_i\)和\(X_j\)为负关联。

灰色生成数列

灰色系统理论认为，尽管客观表象复杂，但总是有整体功能的，因此必然蕴含某种内在规律。关键在于如何选择适当的方式去挖掘和利用它。灰色系统是通过对原始数据的整理来导求其变化规律的，这是一种就数据导求数据的现实规律的途径，即为灰色序列的生成。一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性，显现其规律性。数据生成的常用方式有累加生成、 累减生成和加权累加生成。

累加生成

把数列各项（时刻）数据一次累加的过程称为累加生成过程，由累加生成过程所得到的数列称为累加生成数列。

设原始数列为

\[x^{(0)}=\left(x^{(0)}(1), x^{(0)}(2), \cdots ; x^{(0)}(n)\right) \]

\[x^{(1)}(k)=\sum^{k} x^{(0)}(i), k=1,2, \cdots, n \]

令

\[x^{(1)}=\left(x^{(1)}(1), x^{(1)}(2), \cdots ; x^{(1)}(n)\right) \]

称所有得到的新数列为数列\(x^{(0)}\)的1次累加生成数列。类似地有

\[x^{(r)}(k)=\sum^{k} x^{(r-1)}(i), k=1,2, \cdots, n,r\geq1 \]

称为\(x^0\)的r次累加生成数列。
未完成

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