标签：奇数 对换 次行 an1 三角形 行列式

副三角形行列式转成上（下）三角形行列式为什么依次对换而不用第n行直接对换首行，第n-1行直接对换次行

前言：重在记录，可能出错。

1. 简而言之，可以用第n行直接对换首行，第n-1行直接对换次行，直到行列式完全上下翻转。

但需要对n讨论奇偶。

2. 如果n是奇数，这种对换方法需要对换（变号）(n-1)/2次；如果n是偶数，则需要对换（变号）n/2次。列式，如下：

$$\mathit{D}=\{\begin{array}{l}(-1){}^{\frac{\mathit{n}}{2}}\mathit{D}{}_1,\mathit{n}\text{为}\text{偶}\text{数}\text{①}\\ (-1){}^{\frac{\mathit{n}-1}{2}}\mathit{D}{}_1,\mathit{n}\text{为}\text{奇}\text{数}\text{②}\mathit{D}{}_1\text{为}\text{上}\text{三}\text{角}\text{形}\text{行}\text{列}\text{式}\end{array}$$

3. 怎么统一？这里需要借用自然数的奇偶特性——奇数乘以一个自然数，结果不改变此自然数的奇偶性。

因此，我们给①式乘上一个奇数n-1，给②式乘上一个奇数n，不改变①、②式的值。列式，如下：

$$\mathit{D}=\{\begin{array}{l}(-1){}^{\frac{\mathit{n}}{2}\bullet (\mathit{n}-1)}\mathit{D}{}_1,\mathit{n}\text{为}\text{偶}\text{数}\text{③}\\ (-1){}^{\frac{\mathit{n}-1}{2}\bullet \mathit{n}}\mathit{D}{}_1,\mathit{n}\text{为}\text{奇}\text{数}\text{④}\mathit{D}{}_1\text{为}\text{上}\text{三}\text{角}\text{形}\text{行}\text{列}\text{式}\end{array}$$

显然，③、④式在形式上已经统一，不再受n的奇偶性的影响，得到：

$$\mathit{D}=(-1){}^{\frac{\mathit{n}(\mathit{n}-1)}{2}}\mathit{D}{}_1=(-1){}^{\frac{\mathit{n}(\mathit{n}-1)}{2}}\mathit{a}{}_{1\mathit{n}}\mathit{a}{}_{2,\mathit{n}-1}⸳⸳⸳\mathit{a}{}_{\mathit{n}1}$$

4. 既然证明了这样求也行的，再说说其他的求法。

(1)、根据n阶行列式的定义——$$\sum (-1){}^{\mathit{t}}\mathit{a}{}_{1\mathit{p}{}_1}\mathit{a}{}_{2\mathit{p}{}_2}⸳⸳⸳\mathit{a}{}_{\mathit{n}\mathit{p}{}_{\mathit{n}}}\text{t}\text{为}\mathit{p}{}_1\mathit{p}{}_1⸳⸳⸳\mathit{p}{}_{\text{n}}\text{排}\text{列}\text{的}\text{逆}\text{序}\text{数}$$

类比上（下）三角形行列式值的推导，上式中不含0的项只有$$(-1){}^{\mathit{t}}\mathit{a}{}_{1\mathit{n}}\mathit{a}{}_{2,\mathit{n}-1}⸳⸳⸳\mathit{a}{}_{\mathit{n}{}_1}$$

t=0+1+···+(n-1)=n(n-1)/2 　　等差数列求和

因此：

$$\mathit{D}=(-1){}^{\frac{\mathit{n}(\mathit{n}-1)}{2}}\mathit{D}{}_1=(-1){}^{\frac{\mathit{n}(\mathit{n}-1)}{2}}\mathit{a}{}_{1\mathit{n}}\mathit{a}{}_{2,\mathit{n}-1}⸳⸳⸳\mathit{a}{}_{\mathit{n}1}$$

(2)、转换过程既然是上下翻转，那就应该是乘以一个行列式上下翻转系数：将第n行反复进行相邻对换到首行需要n-1次，再将之后的行列式第n行反复进行相邻对换到次行需要n-2次，因此副三角形行列式反转成上（下）三角形行列式需要n(n-1)/2次（每次仅允许相邻对换）。符号最终为(-1)^[n(n-1)/2]。

(3)、使用代数余子式求行列式的值，层层拆开后发现，也还是副对角线的数相乘，然后求符号的正负，这个很简单，就不细说了。

标签：奇数,对换,次行,an1,三角形,行列式
来源： https://www.cnblogs.com/wsgxg/p/16500151.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。