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关于数论-逆元的学习

2022-07-18 20:01:36 阅读：155 来源： 互联网

标签：ch 数论 res mo long 学习 int 逆元 MOD

参考教程： (6条消息) 逆元原理详解_跑起来要带风！的博客-CSDN博客

(6条消息) 密码学中模运算的逆元求解_Gardenia Minwentel的博客-CSDN博客_模逆元怎么求

原理：

$a^{m-1}mod m=1modm$(m为素数)

$a*a^{m-2}mod m=1modm$

$\frac{1}{a}mod m=a^{m-2}mod m$

详细见：欧拉定理与费马小定理

板子

long long q_pow(long long a,long long b,long long mo){
    long long res = 1;
    while(b){
        if(b&1)res*=a;
        a*=a;
        b>>=1;
        a%=mo;
        res%=mo;
    }
    return res;
}
long long inv(long long a,long long mo){
    return q_pow(a,mo-2,mo);
}

模板题： 1845 -- Sumdiv (poj.org)

题意：求$A^B的所有因子的和mod9901$

分解质因数：$A=p_1^{x_1}*p_2^{x_2}*...*p_n^{x_n}$

$A^B=p_1^{B*x_1}*p_2^{B*x_2}*...*p_n^{B*x_n}$

$ans =\prod_{i=1}^{n} \sum_{j=0}^{B*x_i}p_ij $

$ans = \prod_{i=1}^{n} \frac{p_i^{B*x_i}-1}{p_i-1} $

这里出现了分数，就要求逆元了。

题目的测试数据： Detail of message (poj.org)

#include<iostream>
#define int long long
const int MOD = 9901;
long long q_pow(long long a,long long b,long long mo){
    a%=mo;
    long long res = 1;
    while(b){
        if(b&1)res*=a;
        a*=a;
        b>>=1;
        a%=mo;
        res%=mo;
    }
    return res;
}
long long inv(long long a,long long mo){
    return q_pow(a,mo-2,mo);
}
signed main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    long long a,b;std::cin>>a>>b;
    long long ans=1;
    for(int i = 2;i*i<=a;i++){
        int cost = 0;
        while(a%i==0){
            cost++;
            a/=i;
        }
        int k = (q_pow(i,b*cost+1,MOD)-1+MOD )%MOD;
        int ny = inv(i-1,MOD);
        if(ny==0)ans=ans*(b*cost%MOD+1)%MOD;//如果逆元不存在
        else ans=(ans*k%MOD)*ny%MOD;
    }
    if(a>1){
         int k = (q_pow(a,b*1+1,MOD)-1+MOD )%MOD;
        int ny = inv(a-1,MOD);
        if(ny==0)ans=ans*(b*1%MOD+1)%MOD;
        else ans=(ans*k%MOD)*ny%MOD;
    }
    std::cout<<ans<<std::endl;
}

逆元递推

$inv(n!)\equiv \frac{1}{n!}(mod MOD)$

$inv(n!)*n \equiv \frac{1}{(n-1)!}(modMOD)$

$inv(n!)*n=inv((n-1)!)$

由此递推式可以得到所有阶乘的逆元。

$inv(n)=inv(n!)*(n-1)!$

然后得到所有的n的逆元。

例题： P3811 【模板】乘法逆元 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

题意：求1到n的所有整数在模质数p意义下的乘法逆元。

由于数据较大，直接挨个求快速幂逆元会TLE,所以要用到上述递推。

//https://www.luogu.com.cn/problem/P3811
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
const int N = 3e6+10;
long long q_pow(long long a,long long b,long long mo){
    long long res = 1;
    while(b){
        if(b&1)res*=a;
        a*=a;
        b>>=1;
        a%=mo;
        res%=mo;
    }
    return res;
}
long long inv(long long a,long long mo){
    return q_pow(a,mo-2,mo);
}
long long jcny[N];
long long jc[N];
signed main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    int n,p;std::cin>>n>>p;
    jc[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        jc[i]=jc[i-1]*i%p;
    }
    jcny[n]=inv(jc[n],p);
    for(int i=n-1;i>=1;i--){
        jcny[i]=jcny[i+1]*(i+1)%p;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        std::cout<<jcny[i]*jc[i-1]%p<<"\n";
    }
}

刷题喽：

P4902 乘积 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

这题卡常了，用上快读能快3倍

快读板子：

inline int read() {
    #define reg register
    reg int s = 0, t = 0; reg char ch = getchar();
    while(ch > '9' || ch < '0') t |= ch == '-', ch = getchar();
    while(ch >= '0' && ch <= '9') s = (s << 1) + (s << 3) + (ch ^ 48), ch = getchar();
    return t ? -s : s;
}

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
const int MOD = 19260817;
const int mo = MOD;
const int N = 1e6+10;
//long long ans[N],a[N];
inline long long q_pow(long long a,long long b){
    long long res = 1;
    while(b){
        if(b&1)res*=a;
        a*=a;
        b>>=1;
        a%=mo;
        res%=mo;
    }
    return res;
}
inline long long inv(long long a){
    return q_pow(a,mo-2);
}
#define reg register
#define space putchar(' ')
#define enter putchar('\n')
#define pin(a) printf("%d", a)
inline int read() {
    reg int s = 0, t = 0; reg char ch = getchar();
    while(ch > '9' || ch < '0') t |= ch == '-', ch = getchar();
    while(ch >= '0' && ch <= '9') s = (s << 1) + (s << 3) + (ch ^ 48), ch = getchar();
    return t ? -s : s;
}
int d[N],hd[N],ans[N];
void init(int n){
	for(int i=1;i<=n;++i)
		hd[i]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=i;j<=n;j+=i){
			d[j]++;
			hd[j]=hd[j]*i%MOD;
		}
	int tot=1,f=0,g=1,h=1;
	ans[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		f=(f+d[i])%MOD;
		h=h*hd[i]%MOD;
		g=g*h%MOD;
		tot=tot*q_pow(i,f)%MOD;
		ans[i]=tot*inv(g)%MOD;
	}
}
signed main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    init(1e6);
    int t;t=read();
    while(t--){
        int a,b;a=read();b=read();
        std::cout<<ans[b]*inv(ans[a-1])%MOD<<"\n";
    }
}

标签：ch,数论,res,mo,long,学习,int,逆元,MOD
来源： https://www.cnblogs.com/wtn135687/p/16491784.html

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