标签:begin end P1397 题解 矩阵 times bmatrix NOI2013 equiv
P1397 [NOI2013] 矩阵游戏 题解
首先考虑 \(F_{n,m}\) 是怎么由 \(F_{1,1}\) 递推到的
考虑用矩阵优化两个递推式子,那么
\[\begin{bmatrix} F_{i,j-1}&1 \end{bmatrix} \times\begin{bmatrix}a & 0 \\ b & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} F_{i,j}&1 \end{bmatrix} \]\[\begin{bmatrix} F_{i-1,m}&1 \end{bmatrix} \times\begin{bmatrix}c & 0 \\ d & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} F_{i,1}&1 \end{bmatrix} \]显然,最后结果矩阵就等于:
\[\begin{bmatrix} 1&1 \end{bmatrix} \times (\begin{bmatrix}a & 0 \\ b & 1\end{bmatrix}^{m-1}\times\begin{bmatrix}c & 0 \\ d & 1\end{bmatrix})^{n-1}\times\begin{bmatrix}a & 0 \\ b & 1\end{bmatrix}^{m-1} \]但是由于 \(1\le n,m\le10^{1000000}\) ,我们需要一些优化
矩阵费马小定理
对于矩阵:\((a,b,p\text{为常数})\)
\[\begin{bmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{bmatrix} \]当 \(a\ne 1\) 时,显然有:
\[\begin{bmatrix}a & 0 \\ b & 1\end{bmatrix}^{p-1} = \begin{bmatrix}a^{p-1} & 0 \\ b\cdot(a^0+a^1+\cdots+a^{p-2}) & 1\end{bmatrix} \]若 \(a,p\) 互质,则由费马小定理可得:
\[a^{p-1}\equiv 1\pmod p \]\[b\cdot(a^0+a^1+\cdots+a^{p-2})\equiv b\cdot\frac{1-a^{p-1}}{1-a}\equiv b\cdot 0\equiv 0\pmod p \]所以就可以得到:
\[\begin{bmatrix}a & 0 \\ b & 1\end{bmatrix}^{p-1}\equiv\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\pmod p \]这样可以得到单位矩阵,性质十分优美
解法
考虑利用矩阵费马小定理,实际上
\[\begin{bmatrix}a & 0 \\ b & 1\end{bmatrix}^{m-1}=\begin{bmatrix}a & 0 \\ b & 1\end{bmatrix}^{(m-1)\bmod (p-1)} \]其中 \(p=10^9+7\)
这样我们只需要预处理出 \((m-1)\bmod (p-1),(n-1)\bmod (p-1)\) 就行了
但是 \(a=1\) 或 \(c=1\) 时要特判
code:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define int long long
const int p=1e9+7;
const int N=1e6+5;
inline ll read(){
ll x=0,f=1;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
return x*f;
}
inline void add(ll &x,ll y){
x=(x+y)%p;
}
struct matrix{
int n;
ll A[2][2];
inline matrix(int x){n=x;memset(A,0,sizeof(A));}
inline void operator ~(){
for(int i=0;i<n;++i) A[i][i]=1;
}
inline matrix operator *(const matrix &B) {
matrix C(n);
for(int i=0;i<n;++i)
for(int j=0;j<n;++j)
for(int k=0;k<n;++k)
add(C.A[i][k],A[i][j]*B.A[j][k]);
return C;
}
inline matrix operator ^(const ll &idx) {
matrix B(n),D=*this;
~B;
for(ll q=idx;q;q/=2,D=D*D)
if(q&1) B=B*D;
return B;
}
};
ll n,m,a,b,c,d;
char s1[N],s2[N];
signed main(){
scanf("%s",s1+1);
scanf("%s",s2+1);
a=read(),b=read(),c=read(),d=read();
int len1=strlen(s1+1),len2=strlen(s2+1);
for(int i=1;i<=len1;++i)
n=((n<<1)+(n<<3)+(s1[i]^48))%(p-(a!=1));
for(int i=1;i<=len2;++i)
m=((m<<1)+(m<<3)+(s2[i]^48))%(p-(c!=1));
matrix A(2),B(2),x(2),y(2);
A.A[0][0]=a,A.A[0][1]=0,A.A[1][0]=b,A.A[1][1]=1;
B.A[0][0]=c,B.A[0][1]=0,B.A[1][0]=d,B.A[1][1]=1;
x=A^(m-1);
B=x*B;
y=B^(n-1);
x=y*x;
cout<<(x.A[0][0]+x.A[1][0])%p;
}
标签:begin,end,P1397,题解,矩阵,times,bmatrix,NOI2013,equiv 来源: https://www.cnblogs.com/into-qwq/p/16490097.html
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