标签：Championship 题解 ki Programming ans 1i include ll mod
题意：从n个数中可重复地随机抽出m个数得到数列q，排序后q[d]>k则q合法, 求q合法的概率，需要输出d~n范围内的每个m对应的方案数。
不难得到对与固定的一个m (d<=m<=n)，有P = Σd-1i=0C(m,i)ki(n-k)m-i / n! (i为抽到的不大于k的数的个数）。用这个式子计算需要O(d)的复杂度。
难点在于需要回答n-d+1个询问，如何快速计算呢？
定义ans[m] = Σd-1i=0C(m,i)ki(n-k)m-i (P的分子,含义为对于固定的m，合法的q的数量）
ans[m+1] = Σd-1i=0C(m+1,i)ki(n-k)m+1-i
因为C(m+1,i) = C(m,i) + C(m,i-1) （注意：特别地，当i等于0的时候，直接套公式有C(m+1,0) = C(m,0) + C(m,-1)，此时可以认为C(m,-1) = 0，即有C(m+1,0) = C(m,0) = 1）
所以ans[m+1] = Σd-1i=0 (C(m,i) + C(m,i-1)) ki(n-k)m+1-i = Σd-1i=0 C(m,i) ki(n-k)m+1-i + Σd-1i=0 C(m,i-1) ki(n-k)m+1-i （1）
观察这两项，
第一有Σd-1i=0 C(m,i) ki(n-k)m+1-i = Σd-1i=0 C(m,i) ki(n-k)m-i * (n-k) = ans[m] * (n-k) ;
第二有 Σd-1i=0 C(m,i-1) ki(n-k)m+1-i = Σd-1i=1 C(m,i-1) ki(n-k)m+1-i = Σd-2i=0 C(m,i) ki+1(n-k)m-i = k * (Σd-2i=0 C(m,i) ki(n-k)m-i ) = k * ( ans[m]-C(m,d-1) kd-1(n-k)m-d+1 )
(上式第一个等号是因为可以认为C(m,-1)=0;第二个等号是因为作了下标替换，实际上等号两边的项一一对应;
汇总上面两项，有递推式：ans[m+1] = ans[m] * (n-k) + k * ( ans[m]-C(m,d-1) kd-1(n-k)m-d+1 ) = n*ans[m] + k*C(m,d-1) kd-1(n-k)m-d+1
最后让所有ans都除以n！就得到概率，就可以ac本题了。
更重要的是，我们要分析上面式子的含义，不然感觉这题只是推个公式，太机械了。
上面的式子的重要基础是组合中的常用等式：C(m+1,i) = C(m,i) + C(m,i-1) ，含义为从m+1个数里选i个数的方案数，等于“必不选第一个数，从剩下的m个数里选i个数的方案数” + “必选第一个数，从剩下的m个数里选i-1个数的方案数” 。
式（1）等式右端的两项分别有以上含义，具体来说，
第一项为ans[m] * (n-k) ，表示m+1个数中的第一个数必选大于k的，然后再在剩下的m个数里选至多d-1个不大于k的数，以保证m+1个数中有至多d-1个不大于k。
第二项为k * ( ans[m]-C(m,d-1) kd-1(n-k)m-d+1 ) ， 表示m+1个数中的第一个数必选不大于k的，然后再在剩下的m个数里选至多d-2个不大于k的数，以保证m+1个数中有至多d-1个不大于k。
AC代码：
1 //exeCreate 2022-7-14 12:34:18
2
3 #include<stdio.h>
4 #include<stdlib.h>
5 #include<iostream>
6 #include<algorithm>
7 #include<string>
8 #include<string.h>
9 #include<cmath>
10 #include<vector>
11 #include<set>
12 #include<queue>
13
14 #define rep(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
15 #define per(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);--i)
16 #define fi first
17 #define se second
18 #define mp make_pair
19 #define all(x) x.begin(),x.end()
20
21 using namespace std;
22 typedef long long ll;
23 typedef pair<ll,ll> PII;
24 typedef pair<int,int> Pii;
25 const int maxn=3e5+10,maxm=maxn;
26 const ll mod=998244353,inf=0x3f3f3f3f;
27
28 /*组合数*/
29 ll quickPow(ll a,ll b){
30 ll ret=1;
31 a%=mod;
32 while(b){
33 if(b&1) ret=ret*a%mod;
34 a=a*a%mod;
35 b>>=1;
36 }
37 return ret;
38 }
39 ll fac[maxn]={1},facinv[maxn]; //支持C(5000,2500)
40 void Cinit(){
41 rep(i,1,maxn-1) fac[i] = fac[i-1]*i%mod;
42 rep(i,0,maxn-1) facinv[i] = quickPow(fac[i],mod-2);
43 }
44 ll C(int n,int m){
45 return fac[n]*(facinv[n-m]*facinv[m]%mod)%mod;
46 }
47
48 ll ans[maxn];
49 int main()
50 {
51 Cinit();
52 int n,d,k; cin>>n>>d>>k;
53
54 ans[d]=0;
55 int m=d;
56 rep(i,0,d-1){
57 ans[d] = (ans[d] + C(m,i)*quickPow(k,i)%mod*quickPow(n-k,m-i))%mod;
58 }
59
60 rep(m,d,n-1){
61 ans[m+1] = (n*ans[m]%mod-C(m,d-1)*quickPow(k,d-1)%mod*quickPow(n-k,m-d+1)%mod*k%mod + mod)%mod;
62 }
63
64 rep(i,d,n) {
65 ans[i] = ans[i]*quickPow(quickPow(n,i),mod-2)%mod;
66 printf("%lld\n",ans[i]);
67 }
68 }
69 //maxn改好了么?
View Code
这题挺不错的，对组合中的常用等式：C(m+1,i) = C(m,i) + C(m,i-1) 的运用比较好。
另外关于这场比赛（这场gym），A题的题解此处推荐一篇博客：https://www.cnblogs.com/iLex/p/16213006.html#_label0
标签：Championship,题解,ki,Programming,ans,1i,include,ll,mod 来源： https://www.cnblogs.com/laozhu1234/p/16482299.html
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