标签：连通 frac sum LOJ6569 times div prod

似乎是水题（

考虑到一个点也可以视作一个环，那么仙人掌相当于每个“节点”都是环的树。

只要意识到这个了就超级简单。。。

将 \(k\) 个大小分别为 \(s_1\sim s_k\) 的连通块连接起来成为一个连通块的方案数是 \((\prod s_i)\times n^{k-2}\)。

考虑 prufer 序列。prufer序列数的是无标号无根树，长度为 \(k-2\)，但是每个位置肯定放任意一个元素都是没问题的，所以有一个 \(n^{k-2}\)。

但是你要考虑每个连通块中的哪个点引出的在连通块之间构成的树中，该连通块的父亲，所以还需要乘上 \(\prod s_i\)。

很显然长度为 \(n\) 的环一共有 \((n-1)!\) 种，而因为上面的公式中需要乘上大小所以需要给这个 \((n-1)!\) 乘上 \(n\) 变成 \(n!\)。

于是考虑环的生成函数显然是 \(\frac{1}{1-x}-1\)。

那么答案就是：

\[\sum_{i=1}^{n}(\frac{1}{1-x}-1)^in^{i-2} \]

\[\sum_{i=1}^{n}(\frac{n}{1-x}-n)^i\div n^2 \]

\[(\frac{1}{1-(\frac{n}{1-x}-n)}-1)\div n^2 \]

\[\frac{1}{n+1-\frac{n}{1-x}}\div n^2 \]

\[\frac{1-x}{n+1-nx-x-n}\div n^2 \]

\[\frac{1-x}{n^2}\times\frac{1}{1-(n+1)x} \]

\[\frac{n!((n+1)^{n}-(n+1)^{n-1})}{n^2} \]

然后快速幂就完了。

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来源： https://www.cnblogs.com/lmpp/p/16452008.html

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