标签：标号 frac log 多项式 sum 复杂度 LG5162

设 \(f[n][m]\) 为将 \(n\) 个有标号元素放入 \(m\) 个有标号集合（不能空） 的方案数。

答案就是 \(\frac{\sum i\times f[n][i]}{\sum f[n][i]}\)。

来考虑这个鬼东西怎么算。。。容易发现 \(f[n][m]=n^{m}\)。

那么有 \(n![x^n]\sum_{i=1}^{n}(e^x-1)^{i}=n![x^n]\frac{1}{1-(e^x-1)}-1=n![x^n]\frac{1}{2-e^x}\)。

上面那个就是 \([x^n]\sum_{i=1}^{n}i(e^x-1)^{i}\)。

我们知道有 \(\sum_{i=0}(i+1)x^i=\frac{1}{(1-x)^2}\)，那么这里就有：

\[[x^n]\frac{e^x-1}{(1-(e^x-1))^2}-1 \]

\[[x^n]\frac{e^x-1}{(2-e^x)^2} \]

两个都只需要做一遍同一个多项式的多项式求逆，以及分子多做两次卷积。

复杂度 \(O(n\log n)\)。

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来源： https://www.cnblogs.com/lmpp/p/16448418.html

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