标签:begin end 相似 变换 相似矩阵 bmatrix 基底 向量
基底不同,向量的坐标值就不同 。对于同一个向量,选取的基底不同,其所对应的坐标值就不同。
例如:
向量 \(a\) 在空间中的位置是固定的,如果使用第一组基底 \((e_1,e_2)=(\begin{bmatrix}1\\0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\1 \end{bmatrix})\)。
向量 \(a\) 表示为 \(3\begin{bmatrix}1\\0 \end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}0\\1 \end{bmatrix}\) ,那么在此基底下,向量 \(a\) 的坐标为 \(\begin{bmatrix}3\\3\end{bmatrix}\) 。
如果基底换为 \((e_1',e_2')=1\begin{bmatrix}2\\1 \end{bmatrix}+1\begin{bmatrix}1\\2 \end{bmatrix}\) 下,其坐标为 \(\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\) 。
描述线性变换的矩阵也取决于基底 基底不同,描述向量线性变换的矩阵也不同 。
对于动态的向量变换,如向量从某个空间中的 位置 \(P\) 移动到 位置 \(Q\),可以用矩阵来表示向量空间位置的改变,如果选取的基底不同,同一个运动在不同基底下,显然对应的矩阵表示也是不同的。
例如:
在这个二维空间中,向量从 \(a\) 变换到 \(a'\)。在基底 \((\begin{bmatrix}1\\0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\1 \end{bmatrix})\) 的描述下,其坐标从 \(\begin{bmatrix}3\\3\end{bmatrix}\) 变换到 \(\begin{bmatrix}-3\\6\end{bmatrix}\) ,对应于这个线性变换的矩阵为 \(\begin{bmatrix}1&-2\\1 &1\end{bmatrix}\) 。
但是如果是在基底 \((\begin{bmatrix}2\\1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\\2 \end{bmatrix})\) 的描述下,其坐标的转换变成了 \(\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\to \begin{bmatrix}-4\\5\end{bmatrix}\) 。
显然前一个基底下的变换矩阵就无法表示这个基底下的变换了。因为 \(\begin{bmatrix}1&-2\\1 &1\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\neq \begin{bmatrix}-4\\5\end{bmatrix}\) 。
相似矩阵与相似变换
针对指定向量的 同一个空间变换,用来 在不同基底下进行描述 的 不同矩阵,彼此之间称之为相似矩阵。相似矩阵所表示的线性变换,彼此之间称之为相似变换。
标签:begin,end,相似,变换,相似矩阵,bmatrix,基底,向量 来源: https://www.cnblogs.com/A-Quark/p/16439258.html
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