标签：max sum 凸函数 笔记 下界 2022 听课 maxflow lambda

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题目叙述

一个上下界网络流问题，每条边的流量在 \([at+b,ct+d]\) 内。t 在 \([0,1]\) 内随机，求这张图有多少概率有解。

题解

如果 \(t\) 不形成一个区间，那这个题就太难了。所以猜测 \(t\) 形成一个区间。
其次，这个东西如果是单调的，那就太简单了。所以我们猜他是凸的，需要三分这个区间。
先温习一下怎么求上下界网络流的可行解。先保证每条边都至少有下界那么多，然后再满足流量平衡。具体地，如果在每条边流满下界时，流出比流入多，那么就从 \(s\) 向这个点连接多流出的那些流量，否则就从他向终点链接。有解当且仅当所有 \(s\) 流出的边都流满了。
考虑证明一下上面猜测的结论。

引理：\(\lambda maxflow(t_1)+(1-\lambda) maxflow(t_2)\le maxflow(\lambda t_1+(1-\lambda)t_2)\)

这一点的证明基于如下事实：跑最大流的图每条边的流量是一个关于 \(t\) 的固定的一次函数。因此对于 \(t_1\) 和 \(t_2\) 构成最大流的那组解，在每条边的流变为 \(\lambda f(t_1)+(1-\lambda)f(t_2)\) 之后就是一组流。因此最大流不小于这个值。所以 \(maxflow(t)\) 就是一个上凸函数。

那么只要找到 \(sum(t)-maxflow(t)\) 的零点即可。其中 \(sum(t)\) 理解为所有连向 \(s\) 的边的边权和。
而这个东西实际上是一个下凸函数，因为其实它的形式是 \(\sum_{} \max(a_ix+b_i,0)\) ，其中 \(i\) 代表一条从源点连向一个点的边。这是因为 \(\max(ax+b,0)\) 是一个下凸函数，所以一大堆函数相加也是一个下凸函数。

总结

• 题目不会太难，所以要猜一些简单的结论。
• 证明不会太难，所以可以考虑使用这样一个显然的不等式：\(\forall T\subseteq S,\max(T)\le \max(S)\) 。

所以 \(gap(t)=sum(t)-maxflow(t)\) 是一个下凸函数减去上凸函数，因此还是一个上凸函数。那么直接三分即可。

P3263 危桥

题目叙述

给定无向图，两个人分别从 \(a_1\) 走到 \(a_2\) 和 \(b_1\) 走到 \(b_2\) ，分别要走 \(2a_n\) 和 \(2b_n\) 次。每条边有一个经过次数上限，上限制可能是无限也可能是 2 。判断是否有解。

题解

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来源： https://www.cnblogs.com/YouthRhythms/p/16438067.html

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