标签：指南 线性系统 信号处理 样本 正弦波 分解 信号 线性 傅里叶
摘要：
大多数DSP技术都是基于一种叫做叠加的分而治之的策略。被处理的信号被分解成简单的组成部分，每个组成部分都被单独处理，然后将结果重新组合。这种方法具有将一个复杂的问题分解成许多简单问题的巨大力量。叠加法只能用于线性系统，这个术语意味着适用某些数学规则。幸运的是，科学和工程中遇到的大多数应用都属于这个类别。本章介绍了DSP的基础：系统是线性的意味着什么，将信号分解成更简单组件的各种方法，以及叠加如何提供各种信号处理技术。
乍一看，要了解世界上所有可能的系统似乎是一项压倒性的任务。幸运的是，大多数有用的系统都属于一个叫做线性系统的类别。这一事实是极其重要的。如果没有线性系统的概念，我们将被迫研究许多不相关的系统的个别特征。有了这种方法，我们就可以把重点放在整个线性系统类别的特征上。我们的首要任务是确定哪些特性使系统成为线性系统，以及它们如何融入电子、软件和其他信号处理系统的日常概念中。
对线性的要求
如果一个系统具有两个数学特性，即同质性和可加性，则该系统被称为线性。如果你能证明一个系统具有这两个属性，那么你就证明了这个系统是线性的。同样地，如果你能证明一个系统不具备其中一个或两个属性，你就证明了它不是线性的。第三个属性，移位不变性，并不是对线性的严格要求，但它是大多数DSP技术的一个强制性属性。当你看到DSP中使用的线性系统这一术语时，你应该认为它包括移位不变性，除非你有理由相信是这样。这三个属性构成了线性系统理论如何定义和使用的数学。在本章后面，我们将研究理解线性的更直观的方法。现在，让我们来看看这些正式的数学属性。
非加法电路的一个很好的例子是无线电发射器的混频器阶段。有两个信号存在：一个是包含声音或音乐的音频信号，另一个是应用于天线时可以在空间传播的载波。这两个信号相加并应用于一个非线性器件，如一个pn结二极管。这导致信号合并形成第三个信号，即能够远距离传输信息的调制无线电波。
如果两个阶段都是线性的，那么顺序就没有任何区别，总体结果也是一样的。请记住，实际的电子产品有非线性效应，可能会使顺序变得很重要，例如：干扰、直流偏移、内部噪声、回转率失真等。
常见的分解法
请记住，这种方法的目的是用几个简单的问题来代替一个复杂的问题。如果分解不能在某种程度上简化情况，那么就没有任何收获。在信号处理中，有两种主要的信号分解方法：脉冲分解和傅里叶分解。在接下来的几章中会对它们进行详细描述。此外，偶尔也会用到一些次要的分解方法。这里简要介绍了两种主要的分解方式，以及三种次要的分解方式。
脉冲分解
脉冲分解将一个N个样本的信号分成N个分量信号，每个分量信号包含N个样本。每个分量信号包含原始信号中的一个点，其余的数值为零。一串零中的一个非零点被称为脉冲。脉冲分解很重要，因为它允许信号在一个时间内被检查一个样本。同样地，系统的特点是它们如何对脉冲作出反应。通过了解一个系统对脉冲的反应，可以计算出该系统对任何给定输入的输出。这种方法被称为卷积，也是接下来两章的主题。
阶梯分解
就像脉冲分解一次看一个点的信号一样，阶梯分解通过相邻样本之间的差异来描述信号的特征。同样地，系统的特征是它们对输入信号的变化的反应。
偶数/奇数分解
偶数/奇数分解，如图5-14所示，将一个信号分成两个成分信号，一个具有偶数对称性，另一个具有奇数对称性。如果一个N点的信号是围绕N/2点的镜像，则被称为具有偶数对称性。也就是说，样本x[N/2 + 1]必须等于x[N/2 - 1]，样本x[N/2 + 2]必须等于x[N/2 - 2]，等等。同样地，当匹配点的大小相等但符号相反时，就会出现奇数对称，如：x[N/2 + 1] = - x[N/2 - 1]，x[N/2 + 2] = - x[N/2-2]，等等。这些定义假定信号是由偶数个样本组成的，索引从0到N-1。分解是根据关系计算的。
把信号中的最后一个样本看成是第一个样本的旁边，其动机是什么？在传统的数据采集中，没有任何东西可以支持这种循环概念。事实上，第一个和最后一个样本的共同点通常比序列中的任何其他两点要少。这就是常识! 这个谜题缺少的部分是一种叫做傅里叶分析的DSP技术。傅里叶分析的数学本质上将信号看作是循环的，尽管它通常在数据的来源方面没有物理意义。我们将在第10章中更详细地研究这个问题。现在，重要的是要理解公式5-1提供了一个有效的分解，仅仅是因为偶数和奇数部分可以加在一起重建原始信号。
交错式分解
如图5-15所示，交错分解将信号分成两个分量信号，即偶数采样信号和奇数采样信号（不要与偶数和奇数对称信号相混淆）。要找到偶数样本信号，从原始信号开始，将所有的奇数样本设为零。要找到奇数样本信号，从原始信号开始，将所有的偶数样本设为零。就是这么简单。
乍一看，这种分解可能显得微不足道，毫无意义。这很有讽刺意味，因为交错分解是DSP中一个极其重要的算法--快速傅里叶变换（FFT）的基础。计算傅里叶分解的程序已经有几百年的历史了。不幸的是，它的速度慢得令人沮丧，在当今的计算机上往往需要几分钟或几个小时才能执行。FFT是20世纪60年代开发的一个算法系列，以减少这种计算时间。该策略是DSP的一个精致的例子：通过重复使用隔行变换将信号减少到基本成分；计算各个成分的傅里叶分解；将结果合成为最终答案。其结果是戏剧性的；速度提高几百或几千倍是很常见的。
傅里叶分解
傅里叶分解是非常数学化的，一点也不明显。图5-16显示了该技术的一个例子。任何N点信号都可以被分解成N+2个信号，其中一半是正弦波，一半是余弦波。最低频率的余弦波（在本图中称为xC0[n]），在N个样本中进行了零个完整的循环，即它是一个直流信号。接下来的余弦分量：xc1[n]、xc2[n]和xc3[n]，在N个样本中分别产生1、2和3个完整的周期。这种模式对余弦波的其余部分以及正弦波分量都是适用的。由于每个分量的频率是固定的，对于被分解的不同信号，唯一改变的是每个正弦和余弦波的振幅。
傅里叶分解的重要性在于三个原因。首先，各种各样的信号都是由叠加的正弦波固有的。音频信号就是这方面的一个很好的例子。傅里叶分解提供了对这些类型的信号所含信息的直接分析。其次，线性系统以独特的方式响应正弦波：正弦波的输入总是导致正弦波的输出。在这种方法中，系统的特征是它们如何改变通过它们的正弦波的振幅和相位。由于输入信号可以被分解成正弦波，知道一个系统对正弦波的反应就可以找到系统的输出。第三，傅里叶分解是一个广泛而强大的数学领域的基础，它被称为傅里叶分析，以及更先进的拉普拉斯和Z-变换。大多数尖端的DSP算法都是基于这些技术的某些方面。
为什么可以将一个任意信号分解成正弦波和余弦波？对于一个特定的信号，这些正弦波的振幅是如何确定的？用这种技术可以设计哪些类型的系统？这些都是后面几章要回答的问题。傅里叶分解的细节涉及面太广，在此简要介绍一下。现在，需要理解的重要思想是，当所有的正弦波分量加在一起时，原始信号就被完全重建了。关于这一点，第八章有更多的介绍。
替代线性的方法
为了理解线性系统的重要性，请考虑只有一种分析非线性系统的主要策略。这个策略就是使非线性系统类似于线性系统。有三种常见的方法可以做到这一点。
首先，忽略非线性。如果非线性足够小，系统可以被近似为线性。由原来的假设产生的错误可以作为噪声被容忍，或者干脆被忽略。
第二，保持信号非常小。如果信号的振幅非常小，许多非线性系统看起来是线性的。例如，晶体管在其整个工作范围内是非常非线性的，但当信号保持在几毫伏以下时，就能提供精确的线性放大。运算放大器将这种想法发挥到了极致。通过使用非常高的开环增益和负反馈，运算放大器的输入信号（即反相和非反相输入之间的差异）被保持在只有几个微伏。这个微不足道的输入信号使一个原本可怕的非线性电路产生了极好的线性度。
第三，应用线性化变换。例如，考虑将两个信号相乘，形成第三个信号：a[n]=b[n] × c[n]。取信号的对数，将非线性的乘法过程变为线性的加法过程：log(a[n]) = log(b[n]) + log(c[n]) 。这种方法的别致名称是同态信号处理。例如，视觉图像可以被建模为场景的反射率（一个二维信号）与环境照度（另一个二维信号）相乘。同态技术使光照信号变得更加均匀，从而改善了图像。
在接下来的章节中，我们将研究信号处理的两个主要技术：卷积和傅里叶分析。两者都是基于本章提出的策略：（1）将信号分解为简单的加法成分，（2）以某种有用的方式处理这些成分，（3）将这些成分合成为最终结果。这就是DSP。
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