标签：惊喜 CRT sum 单位根 Note 反演 Diary Lagrange omega
我们有单位根反演：
\[\sum_{k\mid n}[x^n]f(x)=\frac{1}{k}\sum_{i=0}^{k-1}f(\omega_k^i). \]我们有 CRT：
\[x\equiv r_{1..n}\pmod{m_{1..n}}\\ \Leftrightarrow x\equiv \sum_{i=1}^nr_i\cdot\operatorname{inv}(M/m_i,m_i)\cdot M/m_i\pmod M. \]我们还有 Lagrange 插值：
\[f(x)=\sum_{i=0}^{\deg f}f(x_i)\prod_{j\neq i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}. \]然后我宣称 CRT 才是老大！
从单位根反演开始，其实它指出
\[[x^0](f(x)\bmod(x^k-1))=\frac{1}{k}\sum_{i=0}^{k-1}f(\omega_k^i). \]（左侧在组合意义上与原式左侧相等是显然的，就不证了。）它是如何实现这一过程的？注意到有
\[x^k-1=0\Leftrightarrow x\in\{\omega_k^i\}_{i=0}^{k-1}, \]然后浅代数基本定理一下就是
\[x^k-1=(x-\omega_k^0)(x-\omega_k^1)\cdots(x-\omega_k^{k-1}). \]如果我们求出 \(y_i=[x^0](f(x)\bmod (x-\omega_k^i))\)，大概就可以 CRT 一发合并了？
注意到 \(f(x)\bmod (x-t)=f(t)\)，所以 \(y_i=f(\omega_k^i)\)。套一套 CRT 的话……
\[f(x)\equiv y_i\pmod{x-\omega_k^i}\\ \Leftrightarrow f(x)\equiv\sum_{i=0}^{k-1}y_i\cdot\prod_{j\neq i}\frac{1}{\omega_k^i-\omega_k^j}\cdot\prod_{j\neq i}(x-\omega_k^i)\pmod{x^k-1}\\ \begin{aligned}[] \Rightarrow [x^0](f(x)\bmod (x^k-1)) &= \sum_{i=0}^{k-1}y_i\cdot \frac{\omega_k^i}{k}\cdot \omega_k^{-i}\\ &= \frac{1}{k}\sum_{i=0}^{k-1}f(\omega_k^i). \end{aligned} \]（第二项的化简好像 3B1B 讲过形象证明，不过可以直接洛。）这 tm 不就是所谓单位根反演吗？
但是，要说从 \(f(x)\bmod (x^k-1)\) 推导单位根反演，我一开始的思路是 Lagrange 插值。但……也许不怎么科学，我们用 \(f\) 的点值而非 \(f(x)\bmod(x^k-1)\) 的点值。带入插值公式：
\[g(x)=\sum_{i=0}^{k-1}f(\omega_k^i)\prod_{j\neq i}\frac{x-\omega_k^i}{\omega_k^i-\omega_k^j}. \]对比上面 CRT 的结论，发现 \(g(x)=f(x)\bmod (x^k-1)\)，我们也可以从 Lagrange 插值的角度，取常数项得到单位根反演。
那么 CRT 和 Lagrange 插值又是什么关系？
式子是一样的，也就是说……
若 Lagrange 用 \(x_{1..n}\) 去插 \(f(x)\)，令 \(h(x)=\prod_{i=1}^n(x-x_i)\)，那实际上得到的 \(g(x)\) 就是
\[g(x)\equiv f(x)\pmod{h(x)}. \]为什么插出 \(n\) 次多项式至少需要 \(n+1\) 个点值？因为 \(\deg h>n\) 时，可以保证 \(g(x)=f(x)\)。而在推导单位根反演的过程中，我们不知道 \(\deg f\)，自然也就是引入模 \((x^k-1)\) 来表示最终结果了。
也许可以这么说：
- Lagrange 插值是 CRT 的特殊情况（无需取模）；
- 单位根反演是弟中弟。
Lagrange 插值法是以法国十八世纪数学家 Joseph-Louis Lagrange 命名的一种多项式插值方法。然而在南北朝时期，《孙子算经》卷下第二十六题就已经提出了更为广义的中国剩余定理。比西方整整早了十三个世纪！(doge
还是希望第一次学 Lagrange 插值 / CRT / 单位根反演，或者第一次学完 Lagrange 插值 & CRT & 单位根反演 的时候，就被安利这个惊喜 w。
前面是第一个惊喜，下面这首翻唱是第二个咯。
真的是 IT 的时代啊，最近的 ACE 和 SynthV 引入 AI 的技术力真的比传统 V 强大了几个层次，可以让音乐圈不明真相的叔叔评价“被上帝吻过的嗓音”。主页推送几乎从【洛天依原创】全部变成【洛天依 AI】（当然，中间没空格 w）。虽然 P 主变 A 主从客观上看应该是大势所趋，但不管怎么说都算是对“情怀”的巨大冲击。而且“不难听的歌”的调试门槛降低，肯定又会有一堆小鬼来污染环境。
没有什么成熟的见解。有意思的是，“它们”都是洛天依，这似乎契合了我所认为的“爱”虚拟歌姬的本质。
结束语：都给我去听啊喂！
标签：惊喜,CRT,sum,单位根,Note,反演,Diary,Lagrange,omega 来源： https://www.cnblogs.com/rainybunny/p/16413106.html
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。