标签：奇偶 ATC 记录 摸索 为奇 偶数 素数 即可 模拟

ATC 做题记录

2022.6.17

ARC079

A：模拟。

B：考虑先构造一个最终状态，然后通过把一个数加 \(n\)（保证它加完后是最大的）， 其他数减 \(1\) 的操作得到初始序列。首先有一个结论是：按照这种方式进行操作，对于一个连续的值域 \([l,l+n-1]\) ，操作 \(n\) 次后会变成 \([l+1,l+n]\) ，于是直接模拟这个操作 \(\dfrac{k}{n}\) 次 ， 再从小到大把剩下 \(k \mod n\) 次执行即可。

C：如果一个数 \(\geq n\)， 那么一定是会被减的， 于是模拟。把最大数找出来，可以算出多少次后 \(< n\)， 复杂度是 \(\log_{1.02} V\) 的。

D：容易发现图是个外向基环树，按照题目的要求可以对每一个挂着的节点做一次树形 dp， 求子树的 mex。然后可以直接枚举环上的点的权值，复杂度可以证明是 \(O(n\log n)\) 。看题解区还有一个结论：若环上所有点权相同且为奇环则无解。

ARC080

A，B：模拟。

C：很容易找到规律，用线段树来优化这个分治即可。

D：先把异或序列差分，此时有 1 的位置一定只有偶数个。

​ 于是就变成了 P3943 星空， 结论是两两 1 匹配，费用是 \(p_x - p_y\)。 设 \(w = p_x - p_y\)， 考虑 \(w\) 要用几个奇素数拼出来。

• 若 w 为奇素数，一次即可。

• 若 w 为偶数 ： 若 w = 2， 先取 5 再取 3 即可； 若 w = 4， 先取 7 再取 11 即可。

  若 w > 4， 由哥德巴赫猜想（一个大于 2 的偶数可以写成两个奇素数的和）可知， 需要两个。

  综上：若 w 为偶数， 需要 2 次。

• 若 w 为奇合数 ： 若 w = 1， 取 5, 7, 13 即可。 若 w = 3，取 7， 27， 37 即可。

  若 w > 3，可以把 w 写成 3 + (w - 3)， 其中 (w - 3) 为偶数， 需要两次，故总需要 3 次。

  综上：若 w 为奇合数， 需要 3 次。

直接建图是不行的，因为这是一般图最大权匹配问题。考虑贪心， 先尽量选权值为 1 的边，再选 2， 3。

按奇偶分类， 则奇偶之间的连边为奇数， 先把奇素数的边选了， 再在奇偶内部互相选，边权为 2。

若奇偶都有剩余，则选一个边权为 3 的边。

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来源： https://www.cnblogs.com/henrici3106/p/16386890.html

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