标签：0.25 复杂度 0.5 sqrt times mathcal THUPC2021 P7601 逆序

区间本质不同逆序对。

\(\mathcal O(n \sqrt n \times \sqrt n)\) 应该谁都会做，而且谁都知道不能过。

回顾 P5047，考虑莫队二次离线。

记 \(f(l,r)\) 为 \([l,r]\) 中 \(>a_r\) 的数的种类数。

则区间转移从 \([l,r-1]\) 变成 \([l,r]\)，令 \(r'\) 为 \(a_r\) 上一次出现的位置，则贡献为 \(f(l,r)-f(l,r')\)，其他方向和一连段转移同理。

考虑到种类数难以维护，尝试通过扫描线转换为总数，问题转化为 \(\mathcal O(n)\) 次单点修改，\(\mathcal O(n \sqrt n)\) 次矩阵和查询，第一维是下标，第二维是值域，此时点的横坐标和纵坐标一一对应，即横坐标和纵坐标两两不同。

我们需要一个针对上述问题的 \(\mathcal O(\sqrt n)-\mathcal O(1)\) 数据结构。

引入二维分块，即对 \(n\times n\) 的矩阵进行适当地分块，使得块数 \(\mathcal O(\sqrt n)\) 且支持 \(\mathcal O(\sqrt n)-\mathcal O(1)\) 或 \(\mathcal O(1)-\mathcal O(\sqrt n)\)。

首先用将整个矩形用 \(n^{0.75}\times n^{0.75}\) 来分块（如图红色部分），这样总块数为 \(\mathcal O(n^{0.25}\times n^{0.25}=\sqrt n)\) 的，整块复杂度保证。

考虑分剩余块，使得较小块复杂度保证，不证：

• \(n^{0.25}\times n^{0.25}\) 个 \(n^{0.75}\times n^{0.5}\) 大小的块，蓝色部分。
• \(n^{0.25}\times n^{0.25}\) 个 \(n^{0.5}\times n^{0.76}\) 大小的块，绿色部分。
• \(n^{0.25}\times n^{0.25}\) 个 \(n^{0.5}\times n^{0.5}\) 大小的块，橙色部分。

如图，例：\(155\)。

最后考虑灰色块复杂度，由于询问横坐标和纵坐标两两不同，而灰色块宽度不超过 \(\mathcal O(\sqrt n)\)，涉及的询问只有 \(\mathcal O(\sqrt n)\) 种，故散块修改 \(\mathcal O(\sqrt n)\)，查询 \(\mathcal O(1)\)，复杂度保证。

时间复杂度为 \(\mathcal O(n\sqrt n)\)，空间复杂度为 \(\mathcal O(n)\)。

CODE

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