标签：varepsilon frac int 公式 大学物理 vec quad rm
第一章-质点运动学
质点运动的描述
运动方程一般为\(\,\vec r=t(\vec v,\vec a)\,\),形如
\[\vec r=\vec v_0t+\frac 12\vec gt^2 \]轨迹方程一般为\(\,y=f(x)\,\),形如
\[y=xtan\,\alpha-\frac{g}{2{v_0}^2cos^2\,\alpha}x^2 \]圆周运动
\[\vec a=\frac {{\rm d}\vec v}{{\rm d}t}=\frac {{\rm d}(v\vec e_t)}{{\rm d}t}=\frac {{\rm d}v}{{\rm d}t}\vec e_t+v\frac{{\rm d}\vec e_t}{{\rm d}t} \]\[\vec {a_t}(切向加速度)=\frac {{\rm d}v}{{\rm d}t}\vec e_t=\frac {{\rm d}(r\omega)}{{\rm d}t}\vec e_t=r\alpha\vec {e_t}\quad (\alpha(角加速度)=\frac{{\rm d}\omega}{{\rm d}t}) \]\[\vec{a_n}(法向加速度)=v\frac{{\rm d}\vec e_t}{{\rm d}t}=v\frac{{\rm d}\theta}{{\rm d}t}\vec {e_n}=v\,\omega\,\vec {e_n}=r\omega^2\vec{e_n}=\frac{v^2}{r}\vec{e_n} \]第二章-牛顿定律
2-1 牛顿第二定律
\[\vec F=\frac{{\rm d}\vec p}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}(m\vec v)}{{\rm d}t}=m\frac{{\rm d}\vec v}{{\rm d}t}=m\vec a \]力学相对性原理
对于不同惯性系，牛顿力学的规律大都具有相同的形式，在一惯性系内部所作的任何力学实验，都不能确定该惯性系相对于其他惯性系是否在运动。
2-3 常见力
- 万有引力
- 弹性力
- 摩擦力
第三章-动量守恒定律和能量守恒定律
3-1 质点和质点系的动量定理
冲量、质点系的动量定理
\[\vec F{\rm d}t=m{\rm d}\vec v \]\[\int _{t_1}^{t_2}\vec {F(t){\rm d}t}=\vec {p_2}-\vec{p_1}=m\vec{v_2}-m\vec{v_1} \]3-2动量守恒定律
\[\vec p=\sum_{i=1}^{n}m_i\vec {v_i} \]3-4动能定理
\[{\rm d}W=\vec F\cdot{\rm d}\vec r \]\[{\rm d}W=\vec Fcos\,\theta{\rm d}s \]\[W=\int {\rm d}W=\int_{A}^{B} \vec {F_x}dx+\vec {F_y}dy=\int_{A}^{B}\vec Fcos\,\theta{\rm d}s \]3-5保守力与非保守力 势能
保守力做功例子
-
万有引力做功
\[W=Gm'm(\frac1{r_B}-\frac1{r_A}) \] -
弹性力做功
\[W=-(\frac12kx^2_2-\frac 12kx^2_1) \]
保守力做功特点
\[\oint_l\vec F\cdot{\rm d}\vec r=0 \]势能
-
引力势能
\[E_p=-\frac{Gm'm}{r} \] -
弹性势能
\[E_p=\frac12kx^2 \]
3-9质心、质心运动定律
质心公式
\[\vec r_c=\frac{\sum_{i=1}^{n}{m_i\vec r_i}}{m'} \]质心运动定律
\[\vec F^{ex}=m'\vec a_c \]第四章-刚体转动和流体运动
4-2力矩、转动定律、转动惯量
力矩
\[\vec M=\vec r\cdot\vec F \]转动定律
\[M=J\alpha\quad(解题抓手) \]转动惯量
\[J=\int r^2{\rm d}m=\int_v\rho\,t^2{\rm d}V \]转动惯量模型
-
细棒（转轴通过中心与棒垂直）
\[J=2\int_0^{\frac L2}m\frac {{\rm d}x}Lx^2=\frac{ml^2}{12} \] -
细圆环（转轴沿着几何轴）
\[J=\int_Lm\frac{{\rm d}l}{2\pi R}\cdot R^2=mR^2 \] -
细圆盘（转轴沿着几何轴）
\[J=\int_0^Rm\frac{2\pi r{\rm d}r}{\pi R^2}r^2=\frac{2m}{R^2}\frac{R^4}{4}=\frac{mR^2}2 \] -
球体（转轴沿着任一直径）
\[ \]
若一个物体可以拆分成转动惯量相同的若干部分，那么转动惯量公式不变
-
长方形薄片（转轴沿着几何轴）
\[J=J_{细棒}=\frac{ml^2}{12} \] -
薄圆环（转轴沿着几何轴）
\[J=J_{细圆环}=mR^2 \] -
圆柱体（转轴沿着几何轴）
\[J=J_{细圆盘}=\frac{mR^2}{2} \]
平行轴定理
\[J=J_c+md^2 \]4-3角动量、角动量守恒定律
质点的角动量定理和角动量守恒定律
\[\vec L=\vec r\times\vec p \]\[\vec M=\frac{{\rm d}\vec L}{{\rm d}t} \]圆周运动时，位矢与动量方向垂直，故
\[L=rmv\quad(解题抓手) \]刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
角动量
\[\vec L=J\vec \omega \]\[\vec M=\frac{{\rm d}\vec L}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}(J\vec \omega)\quad(解题抓手) \]角动量定理
\[\int_{t_1}^{t_2}\vec M{\rm d}t\,(冲量矩，角冲量)=J\vec \omega_2-J\vec\omega_1\quad(刚体情况) \]\[\int_{t_1}^{t_2}\vec M{\rm d}t\,(冲量矩，角冲量)=J_2\vec \omega_2-J_1\vec\omega_1\quad(非刚体情况) \]角动量守恒定律
\[J\vec \omega=常量\quad(合外力矩等于零或不受外力矩的作用) \]4-4力矩做功、刚体绕定轴转动的动能定理
力矩做功
\[W=\int M{\rm d}\theta \]力矩的功率
\[P=\frac{{\rm d}W}{{\rm d}t}=M\omega \]转动动能
\[E_k=\frac12J\omega^2 \]定轴转动的动能定理
\[W=\frac12J\omega_2^2-\frac12J\omega_1^2 \]质点运动与刚体定轴转动对照表
第五章-静电场
5-1 电荷的量子化、电荷守恒定律
-
质子与电子所具有的电荷量（简称电荷）的绝对值是相等的。
-
正常情况下，每个原子中的电子数与质子数相等，故物体呈电中性。
-
当物体经受摩擦等作用而造成物体中的电子过多或不足时，我们说物体带了电。
电荷的量子化
- 电子的电荷\(\, -e \,\)与质量$ ,m_e, $之比称之为电子的比荷
- 带电体的电荷是$ ,\pm e, $的整数倍
- 电荷只能取离散的，不连续的量值的性质，叫做电荷的量子化。
- 电子的电荷绝对值\(\, e \,\)称为元电荷
- 电荷的单位名称为库伦，简称库，符号为\(\,C\,\)，绝对值近似值为\(1.602\times 10^{-19}\)
电荷守恒定律
- 不管系统中的电荷如何迁移，系统的电荷的代数和保持不变，这就是电荷守恒定律。
5-2库伦定律
\[\vec{F}=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac {q_1q_2}{r^2}\vec{e_r} \]其中\(\varepsilon_0\)叫做真空电容率
\[\varepsilon_0=8.85\times 10^{-12}\,\rm C^2 \cdot N^{-1} \cdot m^{-2}=8.85\times 10^{-12}\rm \,F \cdot m^{-1} \]5-3电场强度
电场强度
\[\vec E=\frac {\vec F}{q_0}=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac {Q}{r^2}\vec{e_r} \]\[\vec E=\sum_{i=1}^{n} \vec {E_i}\quad(电场强度叠加原理) \]电偶极子
-
由两个电荷量相等，符号相反，相距为\(r_0\)的点电荷\(+q\)和\(-q\)构成的电荷系称为电偶极子
-
由\(-q\)指向\(+q\)的矢量\(\vec {r_0}\)为电偶极子的轴，\(q\vec {r_0}\)称为电偶极子的电偶极矩
-
计算电偶极子电场强度相关问题，抓手是将\(\,\vec {e_+},\vec{e_-}\,\)分解为\(\,\vec i,\vec j\),然后用电场叠加性质即可
电场强度模型1-基于库伦定律
-
圆环模型
\[\int_{l}{\vec E_\perp}=0 \]\[\vec E=\int_{l}{\rm d}{\vec E_x}=\int_{l}{\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{{\rm d}q}{r^2}}\,{cos\,\theta} \]\[={\frac 1{4\pi\varepsilon_0}}{\frac {qx}{r^3}}={\frac 1{4\pi\varepsilon_0}}{\frac {qx}{(x^2+R^2)^{\frac 32}}}\quad(cos\,\theta =\frac xr,r^2=R^2+x^2) \]\[{\vec E_{x>>R}}={\frac 1{4\pi\varepsilon_0}}{\frac {q}{x^2}} \quad(足够远处，圆环可看作点电荷) \] -
圆盘模型
\[\vec E=\int_{0}^{R}{\rm d} {\vec E_{圆环}} \]\[{\vec E_{x<<R}}=\frac {\sigma}{2\varepsilon_0} \quad(无限大圆盘) \] -
无限大平行板模型(携带数目相等，极性相反电荷)
\[{\vec E}=2\times\frac {\sigma}{2\varepsilon_0}=\frac {\sigma}{\varepsilon_0} \]
5-4电场强度通量、高斯定理
电场强度通量
\[{\rm d}\Phi_e=\vec E\cdot{\rm d}\vec S=\vec E \cdot \vec {e_n}{\rm d}S=E\,cos\theta\,{\rm d}S \]其中\(\theta\)为电场线方向与法线矢量的夹角
\[\Phi_e=\int_S {\rm d}\Phi_e=\int_S\vec E\cdot{\rm d}\vec S \]如果s为闭合曲面，记为
\[\Phi_e=\oint_S\vec E\cdot{\rm d}\vec S \quad \]真空中静电场的高斯定理
\[\oint_S\vec E\cdot{\rm d}\vec S=\Phi_e=\frac q{\varepsilon_0} \]电场强度模型2-基于高斯定理
-
球面模型
球面内：
\[\oint_S\vec E\cdot{\rm d}\vec S=E4\pi r^2=0 \]\[E_{球面内}=0 \]球面外：
\[\oint_S\vec E\cdot{\rm d}\vec S=E4\pi r^2=\frac {Q}{\varepsilon_0} \]\[E_{球面外}=\frac 1{4\pi\varepsilon_0}\frac Q{r^2} \]和电荷的场强公式一致。
-
无限长柱面模型
\[E_{柱面内}=0 \]\[\oint_S\vec E\cdot{\rm d}\vec S=E2\pi rh=\frac {\lambda h}{\varepsilon_0} \]\[E=\frac \lambda{2\pi \varepsilon_0r} \]其中，\(\lambda\)为电荷线密度。
-
无限大平面模型
\[\]\[ \]E=\frac \sigma{2\varepsilon_0}
\[ \]
5-6静电场的环路定理、电势能
静电场力做的功
\[W=\int {\rm d}W=\frac{qq_0}{4\pi\varepsilon_0}\int_{r_A}^{r_B}\frac{{\rm d}r}{r^2}=\frac {qq_0}{4\pi\varepsilon_0}(\frac1{r_A}-\frac1{r_B}) \]静电场的环路定理
\[q_0\oint\vec E\cdot{\rm d}\vec l=0 \]- \(\vec E\)沿任意闭合路径的线积分又叫做\(\vec E\)的环流
- 静电场中，电场强度\(\vec E\)的环流为零
5-7电势
\[V_A=\int _{A\infty}\vec E\cdot {\rm d}\vec l=-\int _{\infty A}\vec E\cdot {\rm d}\vec l \]\[V=\int_{r}^{\infty}{\vec E\cdot\vec l}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac 1r \]电势模型
5-8电场强度与电势梯度
5-9静电场中的电偶极子
第六章-静电场中的导体与电解质
6-1 静电场中的导体
关键概念
-
导体内没有电荷作定向运动即处于静电平衡状态
-
当导体处于静电平衡状态时，必须满足：
- 导体内部任何一点处的电场强度为零
- 导体表面处电场强度的方向，都与导体表面垂直
-
静电平衡时，导体内任意两点间的电势是相等的
6-2 静电场中的电解质
电介质对电场的影响
\[E(实际电场强度)=\frac {E_0(真空时板间电场强度)}{\varepsilon_r(电介质的相对电容率)} \]\(\varepsilon=\varepsilon_0 \varepsilon_r\)叫做电容率
电介质的极化
- 无极分子：分子正、负电荷中心在无外电场时是重合的
- 有极分子：分子正、负电荷中心在无外电场时不重合，相当于有着固有点偶极矩的电偶极子
- 在外电场作用下介质表面产生极化电荷的现象，叫做电介质的极化现象
电极化强度
\[\vec P=\frac{\sum \vec p}{\Delta V} \]\[P=\sigma' \]极化电荷与自由电荷的关系
\[E'=\frac{\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r}E_0\quad (极化电荷产生的电场与真空时电场关系) \]\[\sigma'=\frac{\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r}\sigma_0\quad(E=\frac{\sigma}{\varepsilon}) \]\[Q'=\frac{\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r}Q_0\quad(Q=\sigma S) \]\[\vec P=(\varepsilon_r-1)\varepsilon_0\vec E=\chi_e\varepsilon_0\vec E \]6-3 电位移、有电介质时的高斯定理
\[\oint \vec D \cdot {\rm d}\vec S=\sum_{i=1}^{n}Q_{0i} \]\[\vec D=\varepsilon_0\varepsilon_r\vec E=\varepsilon\vec E \]\[\vec D=\vec P+\varepsilon_0\vec E \]6-4 电容、电容器
孤立导体的电容
\[C=\frac QV\quad(定义式) \]\[1F=10^6\mu F=10^{12}pF \]电容器
- 求解电容大小：\(1)\, 解E \qquad 2)\,U=\int{E}{\rm d}l \qquad 3)\, C= \frac QU\)
电容模型
-
平行板模型
-
柱模型
-
球模型
6-5 静电场的能量 能量密度
电容器的电能
- 求解电容器电能：
静电场的能量、能量密度
\[W_e=\frac 12 \varepsilon E^2Sd\quad(\varepsilon为电容率) \]\[w_e=\frac 12\varepsilon E^2 \]-
求解电场能量：\(1)\, 解E \qquad 2)\,w_e=\frac 12\varepsilon E^2 \qquad 3)\, W_e=\int w_e{\rm d}V\)
-
经典模型：
- 球模型
- 圆柱模型
第七章-恒定磁场
7-1恒定电流
电流
-
电流是由大量电荷作定向运动形成的的，一般说，电荷的携带者可以是自由电子、质子、正负离子
-
由带电粒子定向运动形成的电流叫做传导电流，由带电物体作机械运动时形成的电流叫做运动电流
电流密度
\[j=\frac {\Delta Q}{\Delta t\Delta Scos\,\alpha}=\frac {\Delta I}{\Delta Scos\, \alpha}\quad \]\[当I不变(恒流),S不变(理想导线),有j=\frac{I}{S}，更为常用 \]7-2 电源、电动势
7-3磁场、磁感强度
7-4 毕奥-萨伐尔定律
定律内容
\[{\rm d}\vec B=\frac {\mu_0}{4\pi}\frac{ I{\rm d}\vec l\times \vec {e_r}}{r^2}\quad (注意\mu_0在分子上) \]\[\vec B=\frac {\mu_0I}{4\pi}\int \frac{ {\rm d}\vec l\times \vec {e_r}}{r^2} \]其中\(\mu_0\)叫做真空磁导率，\(\mu_0=4\pi \times 10^{-7} \,\rm N \cdot A^{-2}\)
磁感强度模型
-
长直载流导线
\[{\rm d}B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I{\rm d}zsin\,\theta}{r^2} \]\[B=\frac{\mu_0I}{4\pi r_0}(cos \theta_1-cos\theta_2) \]\[B=\frac{\mu_0I}{2\pi r_0}\quad (无限长直导线，用安培环路定理推理较容易) \] -
导线内部距轴线为r处
\[B=\frac{\mu_0Ir}{2\pi R^2}\quad (安培环路定理推理) \] -
圆环载流导线
\[{\rm d}B=\frac{\mu}{4\pi}\frac{I{\rm d}l}{r^2}\quad (\vec l\perp \vec e_r) \]\[B=\int_l{\rm d}B_x=\int_l\frac{R}{r}{\rm d}B=\frac{\mu}{4\pi}\frac{IR}{r^3}\int_0^{2\pi R}{\rm d}l=\frac {\mu_0}2\frac {R^2I}{(R^2+x^2)^{\frac 32}} \]\[x=0时，B=\frac{\mu_0I}{2R}\quad(环中心磁感强度) \] -
载流直螺线管
磁矩
\[\vec m=IS\vec{e_n}\quad(S为环线圈围成面积) \]运动电荷的磁场
对于
\[{\rm d}\vec B=\frac {\mu_0}{4\pi}\frac{ I{\rm d}\vec l\times \vec {e_r}}{r^2} \]考虑到
\[I{\rm d}\vec l=nq\vec vS{\rm d}l \]且对于一个电流元而言
\[nS{\rm d}l=n{\rm d}V={\rm d}N=1 \]故
\[{\rm d}\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q{\vec v}\times \vec e_r}{r^2} \]7-5 磁通量、磁场的高斯定理
\[\Phi=\vec B\cdot\vec S=\vec B \cdot \vec {e_n}S=B\,cos\theta\,S \]\[\oint_S \vec B\cdot{\rm d}\vec S=0 \]7-6安培环路定理
\[\oint_l \vec B \cdot {\rm d}\vec l=\mu_0\sum_{i=1}^{n}I_i \]7-7带电粒子在电场和磁场中的运动
7-8载流导体在磁场中所受的力
安培力
\[\vec F=\int_l{\rm d}\vec F=\int_lI{\rm d}\vec l\times \vec B \]磁力矩
\[M(磁力矩)=BISsin\,\theta\quad (\theta为线圈正法向单位矢量与磁感强度方向夹角) \]\[\vec M=\vec m\times\vec B \]7-9磁场中的磁介质
\[\vec M(磁化强度)=\frac{\sum \vec m_i(磁矩)}{\Delta V} =i_s(电流面密度) \]磁介质中的安培环路定理
\[\vec H=\frac{\vec B}{\mu_0}-\vec M\quad (磁化强度M，磁感强度B和磁场强度H的联系公式) \]\[\oint \vec H\cdot{\rm d}\vec l=\sum I\quad (解题抓手，好用耐操，是引入H的意义) \]对于线性磁介质：
\[\vec M=\chi_m\vec H=(\mu_r-1)\vec H\quad(磁化强度与磁场强度关系式) \]\[\vec B=\mu_0\mu_r\vec H=\mu\vec H\quad(磁感强度与磁场强度关系式) \]第八章-电磁感应和电磁场
8-1 电磁感应定律
\[\epsilon_i=-\frac{{\rm d}\Phi}{{\rm d}t} \]\[I_i=-\frac1R\frac{{\rm d}\Phi}{{\rm d}t} \]\[q=\int_{t_1}^{t_2}I{\rm d}t=\frac{\Phi_1-\Phi_2}{R} \]楞次定律
来拒去留
8-2 动生电动势和感生电动势
动生电动势
\[\varepsilon_i=\int (\,\vec v\times \vec B\,)\cdot {\rm d}\vec l \]当直导线以恒定速度垂直磁场运动时
\[\varepsilon_i=vBl \]感生电动势
\[\varepsilon_i=-\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}\int_S{\vec B\cdot{\rm d}\vec S} \]当\(S\)不变时
\[\varepsilon_i=-\int_S{\frac{\partial \vec B}{\partial t}}\cdot{\rm d}\vec S \]8-3 自感和互感
自感电动势
\[\Phi=LI \]互感电动势
\[\Phi_{21}=M_{21}I_1 \]8-5磁场的能量、磁场能量密度
8-6位移电流、电磁场基本方程的积分形式
标签：varepsilon,frac,int,公式,大学物理,vec,quad,rm 来源： https://www.cnblogs.com/shanzr/p/16369439.html
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