引言
树链剖分（简称“树剖”，又称“重链剖分”）是一种将一棵树转化为一段连续的区间的方法。
这种方法可以将一棵树根据子树大小，也就是所谓的“重儿子”和“轻儿子”，来将一棵树划分成若干条”重链“，并可以保证，在任意一条路径上的连续的链都不超过 \(\log_2{n}\) 个。
树剖可以借助一些数据结构（如线段树）来以 \(O(\log n)\) 的复杂度维护数上路径的信息，如“修改树上两点之间的路径上所有点的值”和“查询树上两点之间的路径上节点权值的和/极值/其他(在序列上可以用数据结构维护的、便于合并的信息)”等等。
当然，除了上面那样做，树剖还可以快速地求LCA。
树剖在洛谷上有一道模板题：Luogu P3384
一道比较经典的例题：Luogu P2146 [NOI2015] 软件包管理器
思想
树剖的思想是，将一棵树按照“重边”来划分称为若干条“重链”。
当然，这里的“重链”只是指的一种常用的情况，其他的划分方法比如“长链剖分”等等就不在此赘述了。
重链
“重链”的定义是若干条首尾衔接的“重边”。
那么，如果想要了解“重链”，就需要先了解重边。
重边
“重边”的划分标准是它连接向一个重儿子。
这里需要注意的是，它只需要结束于一个重儿子，而无其他限制。
那么“重儿子”呢？
重儿子
“重儿子”是“重子节点”的别称。
我们判断一个子节点是否为重子节点的标准是它的子树大小。
对于一个节点的所有儿子，其中子树最大的那个儿子称为“重儿子”，其余的，则相对地称之为“轻儿子”。
连接某个节点和其重儿子的边叫做“重边”，而连接其与其轻儿子的边则相应地叫做“轻边”。
划分
我们首先看一下例子：
这是一棵树。
对于上面的这一棵树，我们可以进行如下的一些标记：
我们首先按照深度进行分层：
然后标出子树的大小：
然后标出轻儿子、重儿子、轻边和重边：
然后标出重链：
最后标出DFS序：
这样就大功告成了。
实现
树剖的实现是通过两个DFS进行的。
我们这次使用邻接表来存储树的边信息：
int w[N], h[N], e[M], ne[M], idx;
void add(int a, int b)
{
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
return
}
第一个DFS记录了每个节点的父节点(vater)、深度(depth)、子树大小(sz)和重儿子(son)：
void dfs1(int p, int vater, int depth)
{
dep[p] = depth, fa[p] = vater, sz[p] = 1;//初始化节点状态，记录其深度和父节点
for(int i = h[p]; ~i; i = ne[i])//遍历其所有儿子
{
int j = e[i];
if(j == vater) continue;//防止遍历其父亲
dfs1(j, p, depth + 1);//搜索当前儿子
sz[p] += sz[j];//更新子树大小
if(sz[son[p]] < sz[j]) son[p] = j;//判断是否为重儿子
}
return
}
第二个DFS记录了每个节点所在重链的链顶节点(top)、dfs序(id)和重新定向的节点权值(nw)：
void dfs2(int p, int t)
{
id[p] = ++cnt, nw[cnt] = w[p], top[p] = t;//初始化节点信息，记录其DFS序
if(!son[p]) return;//是否为叶节点
dfs2(son[p], t);//优先搜索在同一条重链上的重儿子
for(int i = h[p]; ~i; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if(j == fa[p] || j == son[p]) continue;
dfs2(j, j);//搜索轻儿子，开一条新的重链，链顶为当前轻儿子
}
return
}
应用
树剖可以在 \(O(n) \sim O(\log n)\) 的时间复杂度内求出两个点的LCA。
例题
板子题
洛谷上面提供了板子题。
题面见这里。
代码正确性见提交记录。
我们首先照常打出线段树部分（不会的可以看这篇博客各位读者们一定已经会线段树了罢）；
两个DFS也是已经有了的代码（见上面）；
然后就有了这篇代码的核心部分。
之后就是对题目要求功能的实现。
题目要求我们这样做：
- 将树从 x 到 y 结点最短路径上所有节点的值都加上 z。
- 求树从 x 到 y 结点最短路径上所有节点的值之和。
- 将以 x 为根节点的子树内所有节点值都加上 z。
- 求以 x 为根节点的子树内所有节点值之和。
我们分类型进行实现。
对于那些对某一棵子树进行的操作，我们直接调用线段树来进行操作，因为对于任意一棵子树，它里面的所有节点的DFS序就是连续的，也就意味着可以被当成一段区间来进行操作。
void addtree(int p, int k)
{
segadd(1, id[p], id[p] + sz[p] - 1, k);
return;
}
ll sumtree(int p)
{
return segsum(1, id[p], id[p] + sz[p] - 1);
}
而对于路径的操作，我们使用这样一种策略：边走边计算。
首先，我们求出这一条最短路，也就是求出它们的最近公共祖先。
我们使用这样的思路来寻找他们的LCA：
我们从较深的那一个节点开始不断向上跳重链，直到跳到与较浅的节点同一条重链上为止。此时，深度较浅的那一个就是他们的LCA。
于是我们就可以写出路径加、路径求和的代码了：
void addpath(int p, int q, int k)
{
while(top[p] != top[q])
{
if(dep[top[p]] < dep[top[q]]) swap(p, q);
segadd(1, id[top[p]], id[p], k);
p = fa[top[p]];
}
if(dep[p] < dep[q]) swap(p, q);
segadd(1, id[q], id[p], k);
return;
}
ll sumpath(int p, int q)
{
ll res = 0;
while(top[p] != top[q])
{
if(dep[top[p]] < dep[top[q]]) swap(p, q);
res += segsum(1, id[top[p]], id[p]);
p = fa[top[p]];
}
if(dep[p] < dep[q]) swap(p, q);
res += segsum(1, id[q], id[p]);
return res % mod;
}
最后放一遍完整代码：Luogu P3384
[NOI2015] 软件包管理器
也是一道树剖的经典题目。
我们仔细想一下就可以知道，install操作可以将从当前节点到根节点的所有未安装的软件全部安装，而uninstall会将其子树内的所有软件一并卸载。
然后就是区间推平了。
详细的解释可以看我的题解。
标签：重链,儿子,剖分,int,top,节点,树链,id 来源： https://www.cnblogs.com/kaiserwilheim/p/16005395.html
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