标签：mathbb +...+ 凸集 集合 theta 仿射 优化
1. 仿射集 Affine Sets
1）定义
定义1：\(x_1, x_2\)为集合\(C\subseteq \mathbb{R}^n\)中的任意两点，如果穿过\(x_1,x_2\)的直线仍在\(C\)内，那么\(C\)为仿射集。
定义2：对于任意\(x_1,x_2\in C\)，\(\theta\in \mathbb{R}\)，如果 \(\theta x_1+(1-\theta)x_2\in C\)，那么\(C\)为仿射集。
2）仿射组合
扩展：如果\(C\)为仿射集，\(x_1,...,x_k\in C\) 并且 \(\theta_1+...+\theta_k=1\)，那么\(\theta_1 x_1+...+\theta_k x_k\in C\)。其中，\(\theta_1 x_1+...+\theta_k x_k\)称为仿射组合（Affine Combination）。
如果\(C\)为仿射集，\(x_0\in C\)，那么\(V=C-x_0=\{x-x_0|x\in C\}\)称为与\(C\)相关的子空间。 (相当于平移)
线性方程组的解集是仿射集？证：
\(C=\{x|Ax=b\}, A\in \mathbb{R}^{m\times n}, x\in \mathbb{R}^n, b\in \mathbb{R}^m\)
对任意\(x_1,x_2\in C\) 有\(Ax_1=b, Ax_2=b\)，那么设 \(\theta \in \mathbb{R}\)，我们想证：
\(\theta x_1 +(1-\theta)x_2\)是否\(\in C\)，即
\(A(\theta x_1 +(1-\theta)x_2)\)是否\(= b\)，整理可得：
\(\theta A x_1 + (1-\theta) A x_2=\theta b+(1-\theta)b=b\)。
对集合\(V\)的分析：
为A的零空间（null space）。
3）仿射包
仿射包(affine hull)：任意集合\(C \in \mathbb{R}^n\)，\(C\)中的点所构成的全部仿射组合的集合称为\(C\)的仿射包，记为\({\rm aff} \; C\)：
\[{\rm aff} \; C=\{\theta_1 x_1+...+\theta_k x_k|x_1,...,x_k\in C, \theta_1+...+\theta_k=1\} \]可以看出，集合\(C\)的仿射包是包含\(C\)的最小仿射集；\(S\)是任意仿射集，如果\(C\subseteq S\)，那么\({\rm aff} \; C \subseteq S\)。
2. 凸集 Convex Sets
1）定义
定义1：\(x_1, x_2\)为集合\(C\subseteq \mathbb{R}^n\)中的任意两点，如果穿过\(x_1,x_2\)的线段仍在\(C\)内，那么\(C\)为凸集。
定义2：对于任意\(x_1,x_2\in C\)，\(\theta\in [0,1]\)，如果 \(\theta x_1+(1-\theta)x_2\in C\)，那么\(C\)为仿射集。
图1. 左：六边形，包括边，是凸集；中：非凸集合；右：正方形， 不包含边上的某些点，非凸（如果不含的点只在四个角上，为凸集）。
2）凸组合
类似的，\(x_1,...,x_k\)的凸组合是\(\theta_1 x_1+...+\theta_k x_k\)这样相加得到的点，其中\(\theta_1+...+\theta_k =1\)，并且\(\theta_i \in [0,1]\)，\(i=1,...,k\)。凸组合可以看做是点的混合(mixture)或加权平均(weighted average)，其中\(\theta_i\)是混合中\(x_i\)的分数。
扩展：\(C\)为凸集\(\Leftrightarrow\)(当且仅当)\(C\)中任意元素的凸组合\(\in C\)。
3）凸包
凸包(convex hull)：任意集合\(C \in \mathbb{R}^n\)，\(C\)中的点所构成的全部凸组合的集合称为\(C\)的凸包，记为\({\rm conv} \; C\)：
\[{\rm conv} \; C=\{\theta_1 x_1+...+\theta_k x_k|x_i\in C, \theta_i\in[0,1], i=1,...,k,\theta_1+...+\theta_k=1\} \]集合\(C\)的凸包是包含\(C\)的最小凸集；\(B\)是任意凸集，如果\(C\subseteq B\)，那么\({\rm conv}\;C\subseteq B\)。
图2. \(\mathbb{R}^2\)中的两个凸包，左图中的集合（15个点构成的集合）的凸包是一个五边形（阴影部分）；右图阴影部分为图1中间的图形的凸包。
凸组合的概念也可归纳为无限累加、积分，以及最一般形式的概率分布：
设 \(\theta\) 满足：\(\sum_{i=1}^{\infty}\theta_i =1\)，\(\theta_i\in[0,1]\)，\(x_i\in C\)，其中\(C\subseteq \mathbb{R}^n\)为凸集，那么\(\sum_{i=1}^{\infty}\theta_ix_i\in C\)(如果级数收敛)。
更一般地，设 \(p:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\)满足:对于所有的\(x\in C\)有\(p(x)\in [0,1]\)，并且\(\int_{C}p(x)dx=1\)，其中\(C\subseteq \mathbb{R}^n\)为凸集，那么\(\int_{C}p(x)xdx\in C\)(如果积分存在)。
3 锥 Cones
1)定义
集合\(C\)为锥（cone）\(\Leftrightarrow\)对于任意\(x\in C\)，\(\theta \geq 0\)，有\(\theta x \in C\)。
集合\(C\)为凸锥(convex cone)\(\Leftrightarrow\)对于任意\(x_1,x_2\in C\)，\(\theta_1,\theta_2 \geq 0\)，有\(\theta_1 x_1+\theta_2x_2 \in C\)。
图3. 凸锥在几何上可以描述为：顶点为0且边缘穿过\(x_1\)和\(x_2\)的二维饼图
2）锥组合
\(x_1,...,x_k\)的锥组合(conic combination)为\(\theta_1 x_1 +,...,+\theta_k x_k\)这样相加得到的点，其中\(\theta_1,...,\theta_k \geq 0\)。
如果\(x_i\in C\)，\(C\) 是凸锥，那么\(x_i\)的任意锥组合在\(C\)内。
集合\(C\)是凸锥\(\Leftrightarrow\)\(C\)包含\(C\)中元素的所有的锥组合。
类似的，锥组合的概念可以一般化到无穷累加和积分。
3）锥包
集合\(C\)的锥包(conic hull)是\(C\)内点的所有锥组合构成的集合，即：
\[\{\theta_1x_1+...+\theta_kx_k|x_i\in C, \theta_i\geq 0, i=1,...,k\} \]集合\(C\)的锥包是包含\(C\)的最小凸锥。
图4. 图2中的两个集合的锥包（阴影部分）；如果集合为两个点，且两点连线通过0点，它的锥包为一条通过这两点，顶点为0的射线
4 一些特例
- 仿射集都是凸集。
- 任何的空集\(\varnothing\)，只包含一个点的集合\(\{x_0\}\)，和整个\(\mathbb{R}^n\)空间都是仿射集。
- 任何直线都是仿射集，如果直线通过0点，那么它是一个凸锥。
- （有长度的）线段是凸集，但不是仿射集。
- 一条射线，形式为\(\{x_0 + θ_v | θ \geq 0\}\)，其中 \(v \neq 0\)，是凸的，但不是仿射的。 如果\(x_0=0\)，则它是凸锥。
- 任何子空间都是仿射集，并且是凸锥。
标签：mathbb,+...+,凸集,集合,theta,仿射,优化 来源： https://www.cnblogs.com/setdong/p/16330050.html
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。