标签：10 方程 return gcd 878 int times 同余 AcWing

复杂度 $ O(log(n)) $

总体复杂度 $ 10^{5} \times log(2 \times 10^{9}) \approx 4 \times 10^{6} $

#include<iostream>

using namespace std;
typedef long long LL;

int exgcd(int a, int b, int & x, int & y)
{
    if (!b) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while (n --) {
        int a, b, m;
        scanf("%d %d %d", &a, &b, &m);
        int x, y;
        int d= exgcd(a, m, x, y);
        if (b % d)     puts("impossible");
        else    printf("%d\n", (LL)x * (b / d) % m);
    }
    return 0;
}

1. 转化为扩展欧几里得算法
   $ a \times x \equiv b \ (\bmod m) $ ，可以写成 $ a \times x = m \times y + b $ ，移项 $ a \times x - m \times y = b $ ，可以把负号写到 $ y $ 中，即 $ a \times x + m \times y = b $ ，由裴蜀定理可知当 $ b $ 是 $ a $ 和 $ m $ 最大公约数 $ gcd(a, m) $ 的倍数时，方程有解，至此，成功把线性同余方程转换成为扩展欧几里得问题
   ① 若 $ b $ 不是 $ a $ 和 $ m $ 最大公约数 $ gcd(a, m) $ 的倍数，说明方程无解
   ② 若 $ b $ 是 $ a $ 和 $ m $ 最大公约数 $ gcd(a, m) $ 的倍数，则问题等价于求出一组 $ x' $ 和 $ y' $ ，使得 $ a \times x' + m \times y' = gcd(a, m) $ ，最后把方程两边同时乘以 $ \frac{b}{gcd(a, m)} $ 就是 $ a \times x + m \times y = d $ ，即 $ x = x' \times \frac{b}{gcd(a, m)} $ ，最后再 $ \bmod m $

标签：10,方程,return,gcd,878,int,times,同余,AcWing
来源： https://www.cnblogs.com/wKingYu/p/16259639.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。