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题目大意

给定 \(l,r\) ，求 \(\sum_{x=l}^r\sum_{y=l}^r[x+y=x\oplus y]\) 。
其中 \(0 \le l \le r \le 10^9\) 。

分析

首先对于题目中给出的式子，我们可以对它进行一些转换：

\(\sum_{x=l}^r\sum_{y=l}^r[x+y=x\oplus y]\)
\(=2\sum_{x=l}^r\sum_{y=x+1}^r[x+y=x\oplus y]+\sum_{x=l}^r[x+x=x\oplus x]\)
\(=2\sum_{x=l}^r\sum_{y=x+1}^r[x+y=x\oplus y]+[l=0]\)

将常数省去后，我们发现最主要求的东西其实是 \(\sum_{x=l}^r\sum_{y=x+1}^r[x+y=x\oplus y]\) ，即将问题转化为了：

对于 \(l \le x < y \le r\) ，求出有多少个 \(x,y\) 满足这两个数不存在一个相同的二进制位上都是 \(1\) 。

然后就很好想到用数位DP来做。在这里先定义两个概念：

• 上界：这一位最大能选的数要不要受到前面选的数的约束（即最终选出来的数不能大于 \(r\) ）。
• 下界：这一位最小能选的数要不要受到前面选的数的约束（即最终选出来的数不能小于 \(l\) ）。

定义 \(dp_{pos,up,down,bj}\) 表示当前进行到了 \(pos\) 位，前面选的数有没有造成上界，有没有造成下界，前面选出来的数是否使当前的 \(x,y\) 相同。
转移的话就是数位DP的常规套路了，具体看代码吧。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int t;
ll l,r;
ll dp[40][2][2][2];
int lbj[40],rbj[40];
ll dfs(int pos,int up,int down,int bj){
	if(!pos){
		if(bj)return 0;//如果最终结果x,y相同就返回0
		return 1;
	}
	if(dp[pos][up][down][bj]!=-1)return dp[pos][up][down][bj];
	ll ans=0;
	int lflag=(down?lbj[pos]:0);
	int rflag=(up?rbj[pos]:1);
	for(int x=(bj?lflag:0);x<=rflag;x++){
		for(int y=lflag;y<=(bj?x:1);y++){
			if((x&y)==1)continue;
			if(x==y){
				ans+=dfs(pos-1,up&&x==rflag,down&&y==lflag,bj&1);
			}
			else{
				ans+=dfs(pos-1,up&&x==rflag,down&&y==lflag,bj&0);
			}
		}
	}
	if(dp[pos][up][down][bj]==-1)dp[pos][up][down][bj]=ans;
	return ans;
}
int main(){
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		scanf("%lld%lld",&l,&r);
		for(int i=0;i<=37;i++){
			lbj[i+1]=(l>>i)&1;
		}
		int len=0;
		for(int i=0;i<=37;i++){
			rbj[i+1]=(r>>i)&1;
			if(rbj[i+1]){
				len=i+1;
			}
		}
		memset(dp,-1,sizeof(dp));
		ll ans=dfs(len,1,1,1);
		printf("%lld\n",ans*2+(l==0));
	}
	return 0;
}

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