一、原理
1.加法原理(分类计数原理)
如果完成一件事有n类方法，第一类方法有m1种方案，第二类方法有m2种方案......
那么完成这件事有(m1+m2+m3+...+mn)种方案
2.乘法原理(分步计数原理)
如果完成一件事有n步，第一步有m1种方案，第二步方法有m2种方案......
那么完成这件事有(m1*m2*m3*...*mn)种方案
二、排列与组合
1.排列
(1)定义：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
(2)表示方法：从n个数中取出m个数进行排列的方案数用符号A(n,m)表示
(3)公式：A(n,m) = n*(n-1)*(n-2)*...*(n-m+1) = n!/(n-m)!
2.组合
(1)定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数
(2)表示方法：从n个数中取出m个数的方案数用符号C(n,m)表示
(3)公式：C(n,m) = A(n,m)/A(m,m) = n!/(m!(n-m)!)
3.策略
(1)特殊元素和特殊位置优先策略
例：由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？
由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置。
先排末位共有C(3,1)，然后排首位共有C(4,1)，最后排其它位置共有A(4,3)。
由乘法原理得ans = C(3,1)*C(4,1)*A(4,3)
(2)相邻元素捆绑策略0
例：7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法？
先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由乘法原理可得共有A(5,5)*A(2,2)*A(2,2)种不同的排法。
(3)不相邻问题插空策略
例：一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
分两步进行：
第一步，排列2个相声和3个独唱，共有A(5,5)种方案。
第二步，将四种舞蹈插入第一步排好的5个元素中间包含首尾两个空位A(6,4)共有种不同的方法。
节目的不同顺序共有A(5,5)*A(6,4)种。
提示：不相邻问题通常用插空法：把要求不相邻的元素放在一边，先排其他元素，再将不相邻的元素插在已经排好的元素之间的空位上。
(4)定序问题倍缩空位插入策略
例：7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定，共有多少不同的排法？
(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则共有不同排法种数是A(7,7)/A(3,3)。
(5)排列问题求幂策略
例：把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法？
完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有7种分法，把第二名实习生分配到车间也有7种分法。
依此类推，由乘法原理共有7^6种不同的排法。
(6)环排问题线排策略
例：8人围桌而坐,共有多少种坐法?
围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人，并从此位置把圆形展成直线其余7人共有(8-1)!=7!种排法
一般地，n个不同元素作圆形排列，共有(n-1)!种排法
如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列，共有A(n,m)/m种排法
(7)多排问题直排策略
例：8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法？
8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排。
前排有2个特殊元素，方案数为A(4,2)，
后排有1个特殊元素，方案数为A(4,1)，
其余的5人在5个位置上任意排列，方案数为A(5,5)。
共有A(4,2)*A(4,1)*A(5,5)种方案。
(8)排列组合混合问题先选后排策略
例：有5个不同的小球,装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，求共有多少不同的装法？
第一步：从5个球中选出2个组成复合元共有C(5,2)种方法，
第二步：再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有A(4,4)种方法。
根据乘法原理装球的方法共有C(5,2)*A(4,4)。
(9)平均分组问题除法策略
例：6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
分三步取书得C(6,2)*C(4,2)*C(2,2)种方法，但这里出现重复计数的现象
每种方案计算了A(3,3)次，故最终答案为C(6,2)*C(4,2)*C(2,2)/A(3,3)。
(9)重排列
例：由四面红旗，三面蓝旗，二面黄旗，五面绿旗排成的一排彩旗有多少种？
将14面彩旗排成一个排列，方案数A(14,14)，
其中红旗之间每种排列等价，方案数A(4,4)。
ans = A(14,14)/(A(4,4)*A(3,3)*A(2,2)*A(5,5))
4.常用结论
(1)将一个长度为n的序列划分成m段非空子串的方案数为C(n-1,m-1)
相当于在n-1个空位中选择m-1个插入隔板的方案数
(2)将一个长度为n的序列划分成m段可空子串的方案数为C(n+m-1,m-1)
相当于在m+n-1个空位中选择m-1个插入隔板的方案数
三、容斥原理
1.单步容斥
有的时候合法的方案数不好求，我们可以用方案全集减掉不合法的方案数，就是答案。
（单步容斥一般结合DP等使用，隐藏较深，形式通常也比较难看出）
例题：NOI2010 能量采集
2.多步容斥
有时候剪掉不合法方案的时候会顺便减掉一些合法方案；将这些合法方案加回去，又会加回去一些不合法方案；反反复复，就是多步容斥。
（多步容斥的形式一般比较好看出，有时候会在每一项后面乘一个组合数，多注意式子）
比如说这个式子：
四、卡特兰数
1.定义
在二维平面上从点(0,0)走到点(n,n)，每次可以向右走1单位或向上走1单位，求方案数。
相当于用n个右和n个上组成一个长度为2n的序列，方案数C(2n,n)
在二维平面上从点(0,0)走到点(n,n)，每次可以向右走1单位或向上走1单位，要求不能跨越直线y=x，求方案数
如果某个方案跨越了直线y=x那么他一定触碰了直线y=x+1
那么我们将这条路径从起点到第一次触碰的点为止的部分都沿直线y=x+1翻转，就等价映射到了一条从(-1,1)走到(n,n)的路径。
那么不合法的方案数就等于从点(-1,1)走到(n,n)的方案数，即C(2n,n-1)
答案就是C(2n,n) - C(2n,n-1)，这个数列被称为卡特兰数。
2.公式
h(n) = C(2n,n)-C(2n,n-1)
= C(2n,n)/(n+1)
= h(n-1)*(4*n-2)/(n+1)
= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0)
（前几项分别为1,1,2,5,14,42,...）
3.应用
(1)出栈次序：一个栈的进栈序列是1,2,3,4...,n，求有多少个不同的出栈序列？
(2)三角剖分问题：一个正n+2边形，连接n-1条不相交的对角线的方案数。
(3)n个节点没有标号的二叉树一共有多少种？
答案都是h(n)
类似的结论实在太多了，很难一一记住，建议熟记卡特兰数列的前几项，当遇到题目卡住的时候不妨打个表看看前几项，如果吻合说明是卡特兰数列
标签：方案,排列,组合,排法,元素,数学,共有,2n 来源： https://www.cnblogs.com/Kamisato-Ayaka/p/16221553.html
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