标签：num1 模型 序列 经典 9.4 长度 上升 最长 数字

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本节将介绍一些常见结构中的动态规划，序列，表达式，凸多边形和树。尽管他们的形式和解法千差万别，但都用到了动态规划的思想：从复杂的题目背景中抽象出状态表示，然后设计他们之间的转移。

9.4.1 线性结构上的动态规划

最长上升子序列问题（LIS）

设d(i)为以i结尾的最长上升子序列的长度，则d(i) = max{0, d(j)|j<i, Aj<Ai}+1,最终答案是max{d(i)}，如果LIS中的相邻元素可以相等，把小于号改成小于等于号即可。上述算法的时间复杂度为O(n*n)

最长上升子序列问题复杂度为O(nlogn)的揭发思路大致是这样的
1.d[i]此时表示的不再是第i个数的最长上升子序列的值，而是表示长度为i的上升子序列的最后一个数的最小值（贪心的思想，在相同长度的情况下，肯定是长度越小其更优秀，因为这样更可能为后面的数字拼接搭建桥梁，也就是说如果现在有两个子序列1，2，3和2，3，4很明显d[3] = 3而不是4，因为无论后面的数字怎么样，肯定是相同长度下的最后一个数字越小越好

最长公共子序列问题（LCS）
最长公共子序列在一些特殊情况下可以转换为最长上升子序列问题
笔者是这样考虑的，首先我们不妨假设上下两个数组一个是num1，一个是num2
那么我们就可以为构建一个关系，让num1[i]映射到i上，然后此时num2上的数字只有出现num1上的数字那么就会有独一无二的i与其对应（如果有重复的情况，依次分配值，无法非陪就给予INF
其他不在num1之间的情况，那么我们的赋值也是INF
这样我们就可以将原先的num2上的数字转换成对应的num1上的下标，此时最长公共子序列问题就转换成了最长上升子序列问题，很明显，其时间复杂度为O(nlogn)

作者是这样给出的解答：
设d(i,j)为A1，A2,...,Ai和B1,B2和Bj的LCS的长度，则当A[i]=A[j]的时候，d(i,j) = d(i-1,j-1)+1，否则d(i,j) = max{d(i-1,j), d(i,j-1)}
时间复杂度为O(nm)，其中n和m分别是序列A和B的长度

Lighting_System_Design

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来源： https://www.cnblogs.com/FlnButFly/p/16109766.html

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