标签：结点 int fa maxn LCA Black 向上 Panda
1. 定义：
LCA（Least Common Ancestors），即最近公共祖先，是指在有根树中，找出某两个结点 \(x\) 和 \(y\) 最近的公共祖先（深度最大的祖先），记为：\(LCA(x,y)\)。
举例：
- \(LCA(15,12)=4\)
- \(LCA(10,12)=10\)
图例：
作用：能在 \(log(n)\) 解决从 \(u\) 到 \(v\) 的路线问题。
2. 求解：
方法一：向上标记法（暴力求解）
-
从 \(x\) 向上走到根节点，并标记所有走过的结点。
-
从 \(y\) 走到根，当第一次遇到有标记的结点时，就找到了 \(LCA(x,y)\)。
-
最坏时间 \(O(n)\)。
-
给出代码片段：
int LCA(int x,int y){
while(x>0)vis[x]=1,x=fa[x];
while(y>0 && !vis[y])y=fa[y];
return y;
}
方法二：暴力优化
-
用 \(fa[i]\) 记录 \(i\) 的父亲结点。
-
首先将 \(x\) 和 \(y\) 中深度较深的那个点跳到和较浅的点同样的深度。
-
然后两个点一起一步一步向上跳，直到跳到同一个点 \(p\)，就是它们的 \(LCA\)。
-
复杂度：最坏情况 \(O(o)\)，适合只计算一次 \(LCA(x,y)\)。
\(p=LCA(x,y)\)
-
结点深度：\(d[x],d[y]\)
-
\(x\) 向上走 \(d[x]-d[p]\)
\(y\) 向上走 \(d[y]-d[p]\)
-
实现方法：\(u\) 和 \(v\) 深度大的向上走 \(|d[x]-d[y]|\)，再一起一步一步向上走，直到走到同一个结点 \(p\)。
-
时间：\(O(d[x]+d[y])\)
-
存储：有向图的邻接表
vector<int> G[maxn];
int fa[maxn];
int d[maxn];
- 深度优先遍历，同时求 \(fa[]\)
\(dfs(root,1);\)
void dfs(int u,int depth){
d[u]=depth;
int m=G[u].size();
for(int i=0;i<m;i++){
int v=G[u][i];
dfs(v,depth+1);
}
}
- 参考代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=5e5+5;
vector<int> G[maxn];
int fa[maxn],d[maxn],n,m,s;
void dfs(int u,int p,int depth){
d[u]=depth;
fa[u]=p;
for(int i=0;i<G[u].size();i++){
int v=G[u][i];
if(v!=p) dfs(v,u,depth+1);
}
}
int LCA(int x,int y){
while(d[x]>d[y]) x=fa[x];
while(d[x]<d[y]) y=fa[y];
while(x!=y){
x=fa[x];y=fa[y];
}
return x;
}
int main(){
scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
int u,v;
for(int i=1;i<n;i++){
scanf("%d%d",&u,&v);
G[u].push_back(v);
G[v].push_back(u);
}
dfs(s,-1,1);
for(int i=0;i<m;i++){
scanf("%d%d",&u,&v);
printf("%d\n",LCA(u,v));
}
return 0;
}
方法三：二进制拆分思想（倍增）
求 \(LCA(x,y)\) 的步骤：
- 设 \(d[x]\) 表示 \(x\) 的深度。假设 \(d[x]>=d[y]\) （否则可以交换 \(x\) 和 \(y\)）。
- 利用二进制拆分思想，把 \(x\) 向上调整到 \(y\) 同一高度。
- \(x\) 向上走 \(i=2^{log_n},...,2^1,2^0\) 步，检查 \(x\) 到达的节点是否比 \(y\) 深，若是则 \(x=fa[x][i]\)。
- 如果 \(x=y\)，\(LCA(x,y)=y\)。
- 利用二进制思想，\(x\) 和 \(y\) 同时往上跳，并保持深度一致且二者\(\color{#ff0000}{\text{不相遇}}\)。
- \(x\) 和 \(y\) 同时向上走 \(i=2^{log_n},...,2^1,2^0\) 步。
- 如果 \(fa[x][i]!=fa[y][i]\)，则 \(x=fa[x][i],y=fa[y][i]\)。
- 此时只差一步就得相遇了，它们的父亲节点 \(fa[x][0]\)（或\(fa[y][0]\)），就是 \(LCA(x,y)\)。
3.推荐
bilibili:BV1nE411L7rz
标签：结点,int,fa,maxn,LCA,Black,向上,Panda 来源： https://www.cnblogs.com/liu-black/p/lca-biji.html
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。