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CF1033G Chip Game 博弈

2022-03-31 08:31:05  阅读:235  来源: 互联网

标签:le max sum Game ge win 情况 Chip CF1033G


看的跳蛙题解,只是瞎嘴巴一遍加深印象。

模拟赛出题人搬来的CF *3500=.=

于是我的一整个晚上就被吃了。

题意

现在有一种隔膜。有 \(n\) 堆棋子,MC 和 pigstd 轮流取,MC每次只能取 \(a\) 个,pigstd 每次只能取 \(b\) 个。

问,对于所有满足 \(a,b\in [1,m]\) 且 \(a,b\in Z\) 的 \((a,b)\) ,假设MC和pigstd都绝对聪明,分别有几种方案满足如下四种情况。

  • MC win
  • pigstd win
  • 先手 win
  • 后手 win

\(n\le 10^2, m\le 10^5\) ,每堆棋子数量 \(\le 10^{18}\)

题解

因为只有pigstd 真的是人win,所以答案是 \(0,m^2,0,0\) 。做完了。

对于 \((a,b)\)

  • MC win: 拿 \(a\) 的必胜
  • pigstd win: 拿 \(b\) 的必胜
  • 先手 win:谁先手谁胜
  • 后手 win:谁后手谁胜

显然四种情况是不会有重叠的,容易发现 MC win 和 pigstd win 的情况是等价的。

那么其实只要考虑先手必胜和后手必胜的方案数,然后就能求出所有答案。


\(G=(v_0,v_1,...)\) 的局面等价于 \(G‘=(v_0\bmod (a+b), v_1\bmod (a+b),...)\) 的局面。好像可以解释成,分成了两个子游戏,因为这两个游戏的赢家先后手不变,所以其中有一个是 \(0\) ,那么总的异或和不为0。
那么我们的 \(v_i\) 就会减小到 \(2m\) 以内了。


叫起来太麻烦了。。还是 A 每次拿 \(a\) ,B 每次 拿 \(b\) 好了。

我们现在只考虑先手胜还是后手胜的问题,所以我们不妨设 A 是 小手,B 是大手(也就是 \(a\le b\))

  • 情况1:\(v_i\in [0,a)\) 废点。不用管。
  • 情况2:\(v_i\in [a,b)\) A 可拿 1 次,B拿不了。
  • 情况3:\(v_i\in [b,2a)\) A 可拿 1 次,B拿 1 次。
  • 情况4:\(v_i\in [max(2a,b),a+b)\) A 可拿 2 次,B 拿 1 次。

我们注意到每堆最多被一个人拿。

分类讨论。被括起来的是必胜者。

  • (A)存在情况2。
  • 不存在情况2
    • (A)情况 4 个数 \(\ge 2\):那么,第一轮里, A 肯定可以和 B 抢到一个情况4,将它转化为情况2。
    • 情况 4 个数 \(=1\)。
      • 情况3 和情况 4 个数(\(\sum [v_i\ge b]\)) 为奇数。
        • (A)A是先手
        • (B)B是先手
      • (A)情况3 和情况 4 个数(\(\sum [v_i\ge b]\)) 为偶数。
    • 不存在情况 4。
      • 情况 3 个数(\(\sum [v_i\ge b]\))是奇数
        • (A)A是先手
        • (B)B是先手
      • 情况 3 个数(\(\sum [v_i\ge b]\))是偶数
        • (B)A是先手
        • (A)B是先手

整合一下。只要考虑先手必胜和后手必胜的 \((a,b)\)。

  • 不存在情况2
    • 情况 4 个数 \(=1\)。
      • (先)\(\sum [v_i\ge b]\) 为奇数
    • 不存在情况 4。
      • (先):情况 3 个数(\(\sum [v_i\ge b]\))是奇数
      • (后):情况 3 个数(\(\sum [v_i\ge b]\))是偶数

那么我们就可以暴力枚举 \(O(nm^2)\) 了。然而过不去。。


考虑先手胜利的情况:

  • 不存在 \(v_i\in [a,b)\)
  • \(\sum [v_i\in [max(2a,b),a+b)]\le 1\) 并且 \(\sum [v_i\ge b]\) 为奇数。

考虑后手胜利的情况:

  • 不存在 \(v_i\in [a,b)\)
  • \(\sum [v_i\in [max(2a,b),a+b)]=0\) 并且 \(\sum [v_i\ge b]\) 为偶数。

首先枚举 \(a+b\)

对 \(v\) 进行排序。

要求 \(a,b\) 就处于一个 \((v_j,v_{j+1}]\) 的区间内。枚举是哪个区间。(边界区间也要考虑)

然后 \(\sum [v_i\ge b]\) 的奇偶性就可知了。分别考虑先手胜和后手胜的情况。

设最大的 \(v\) 是 \(v_n\),次大的是 \(v_{n-1}\)

  • 先手

    \(\sum [v_i\in [max(2a,b),a+b)]\le 1\)

    即:\(max(2a,b)>v_{n-1}\)

    即:必须满足 \(a>\lfloor \frac {v_{n-1}} 2\rfloor\) 和 \(b>v_{n-1}\) 中至少一个

    看起来这个玩意儿需要容斥。但是实际上不用。
    因为 \(a,b\) 在一个区间里,所以 \(b>v_{n-1}\) 的时候 \(a\) 一定 \(>v_{n-1}>\lfloor \frac {v_{n-1}} 2\rfloor\)。所以只需要计算 \(a>\lfloor \frac {v_{n-1}} 2\rfloor\) 的情况。

  • 后手

    \(\sum [v_i\in [max(2a,b),a+b)]=0\)

    即:\(max(2a,b)>v_n\)

    即:\(a>\lfloor \frac {v_n} 2\rfloor\) 或 \(b>v_n\)

    同理。
    因为 \(a,b\) 在一个区间里,所以 \(b>v_{n}\) 的时候 \(a\) 一定 \(>v_{n}>\lfloor \frac {v_{n}} 2\rfloor\)。所以只需要计算 \(a>\lfloor \frac {v_{n}} 2\rfloor\) 的情况。

那么我们最后会框出一个 \(a\) 的范围 \([l,r]\),然后 \(b\in (v_{j},v_{j+1}\bmod s)\)

l = max(v[j] % s, mx / 2) + 1, r = min(v[j + 1] % s, m);

注意到我们开始有个设定叫 \(a\le b\),现在我们想抛弃它,否则会很难写。

那么就是 \(min(a,b)\in [l,r],max(a,b)\in \in (v_{j},v_{j+1}\bmod s)\)

也就是 \(min(a,b)\ge l,max(a,b)\le r\)

\(a\ge l,b\ge l,a\le r,b\le r\)

那么最终 \(a\) 的范围就是 \([min(l,s-r),max(r,s-l)]\)

太困难啦!谢谢 @shight 答了一堆奇奇怪怪的疑。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define ls(x) ((x)<<1)
#define rs(x) ((x)<<1|1)
#define fi first
#define se second
#define mkp make_pair
#define PII pair<int,int>
const int N = 110, M = 2e5 + 10;
int n, m, tmp[N];
ll v[N], ans, ansf, anss;
int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", &v[i]);
	for(int s = 2; s <= (m << 1); s++) {
		tmp[0] = 0; tmp[n + 1] = s - 1;
		for(int i = 1; i <= n; i++) tmp[i] = v[i] % s;
		sort(tmp, tmp + (n + 1) + 1);
		for(int i = 1; i <= n + 1; i++) {
			//a,b在 [tmp[i-1],tmp[i]]之间。 
			//fl: >=b 的个数是否为奇数。
			bool fl = (n + 1 - i) & 1;
			int l = max(tmp[i - 1], tmp[n - 1 + (!fl)] / 2) + 1, r = min(tmp[i], m);
			//是奇数:可能后手必败(先手必胜)。找次大 
			//是偶数:可能先手必败(后手必胜)。找最大 
			(fl ? ansf : anss) += max(0, min(r, s - l) - max(l, s - r) + 1);
		}
	} 
	ans = (1ll * m * m - ansf - anss) >> 1;
	printf("%lld %lld %lld %lld\n", ans, ans, ansf, anss);
	return 0;
}

标签:le,max,sum,Game,ge,win,情况,Chip,CF1033G
来源: https://www.cnblogs.com/zdsrs060330/p/16079421.html

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