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最近公共祖先（LCA）笔记

2022-02-06 12:01:40 阅读：130 来源： 互联网

标签：dep 结点 fa 祖先公共笔记 int LCA

简介

LCA是一种树上问题，为求两个点之间的最近公共祖先。

最近公共祖先就是往上走到最近的点，使得这个点是另两个点的祖先。

模板题

可以看洛谷上的模板题：P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

题目描述

如题，给定一棵有根多叉树，请求出指定两个点直接最近的公共祖先。

输入格式

第一行包含三个正整数 \(N\)，\(M\)，\(S\)，分别表示树的结点个数、询问的个数和树根结点的序号。

接下来 \(N-1\) 行每行包含两个正整数 \(x\)，\(y\) 表示 \(x\) 结点和 \(y\) 结点之间有一条直接连接的边（数据保证可以构成树）。

接下来 \(M\) 行每行包含两个正整数 \(a\)，\(b\) 表示询问 \(a\) 结点和 \(b\) 结点的最近公共祖先。

输出格式

输出包含 \(M\) 行，每行包含一个正整数，依次为每一个询问的结果。

输入样例

输出样例

暴力

直接想让其中一个点往上走，直到两个点深度相同，再两个点一起往上走，直到重合，重合的点即为最近公共祖先

倍增

如果两个点相隔很远，那么要走好多步才能深度相同或重合。

那么需要用到倍增的思想，这里包含 \(dp\) 的思想。

倍增算法即在往上走是先走 \(2^k\) 步，再走常数步到达最近公共祖先，这样可以加快其速度，并优化暴力算法。

对于求出深度，我们可以使用 dfs：

void dfs(int to, int fa) {
	f[to][0] = fa; dep[to] = dep[fa] + 1;
	for(int i = 1; i <= lg[dep[to]]; i++) f[to][i] = f[f[to][i - 1]][i - 1];
	for(int i = 0; i < g[to].size(); i++) if(g[to][i] != fa) dfs(g[to][i], to);
}

\(f_{i,j}\) 表示第 \(i\) 个点往上走 \(2^j\) 步到达的点，则有

\[f_{i,j} = f_{f_{i, j-1}, j-1} \]

我们可以从大到小枚举 \(k\)，第一个相同的深度再跳到下一层即为最近公共祖先

for(int k = lg[dep[x]] - 1; k >= 0; k--) 
	    if(f[x][k] != f[y][k]) x = f[x][k], y = f[y][k];

这是LCA模板题完整的代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 500005;
int n, m, s;
vector<int> g[MAXN];
int dep[MAXN], f[MAXN][22], lg[MAXN];
void dfs(int to, int fa) {
	f[to][0] = fa; dep[to] = dep[fa] + 1;
	for(int i = 1; i <= lg[dep[to]]; i++) f[to][i] = f[f[to][i - 1]][i - 1];
	for(int i = 0; i < g[to].size(); i++) if(g[to][i] != fa) dfs(g[to][i], to);
}
int lca(int x, int y) {
	if(dep[x] < dep[y]) swap(x, y);
	while(dep[x] > dep[y]) x = f[x][lg[dep[x] - dep[y]] - 1];
	if(x == y) return x;
	for(int k = lg[dep[x]] - 1; k >= 0; k--) 
	    if(f[x][k] != f[y][k]) x = f[x][k], y = f[y][k];
	return f[x][0];
}
int main() {
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &s);
	for(int i = 1; i < n; i++) {
		int x, y;
		scanf("%d%d", &x, &y);
		g[x].push_back(y);
		g[y].push_back(x);
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++) lg[i] = lg[i - 1] + (1 << lg[i - 1] == i);
	dfs(s, 0);
	for(int i = 1; i <= m; i++) {
		int x, y;
		scanf("%d%d", &x, &y);
		printf("%d\n", lca(x, y));
	}
	return 0;
}

标签：dep,结点,fa,祖先,公共,笔记,int,LCA
来源： https://www.cnblogs.com/sunskydp/p/lca-note.html

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