【数论】——同余
定义
- 若存在整数 a.b，除以 m 的余数相同，则称 a，b mod m 同余，记为：
a ≡ b ( m o d m ) a\equiv b\qquad (mod\ m) a≡b(mod m)
同余系 & 剩余系
- 同余系：对区间 [1,m-1], 集合 {a+km} 的所有数 mod m，余数都是 a，称集合为一个 mod m 的同余类，记做： a ‾ \overline a a。
- 剩余系：mod m 的同余类有 m 个：
0 ‾ , 1 ‾ . . . m − 1 ‾ \overline 0,\overline 1...\overline {m-1} 0,1...m−1
构成 m 的完全剩余系；
[1,m] 中与 m 互质的数代表的同余类有： ϕ ( m ) \phi(m) ϕ(m) 个，构成 m 的简化剩余系。
- 简化剩余系关于 mod m 乘法封闭：
任取其中 a，b 与 m 互质，则 a*b 也与 m 互质（反证法证明）。
扩展欧几里得
- 对于任意整数 a，b，存在一对整数 x，y，有：
a ∗ x + b ∗ y = gcd ( a , b ) a*x+b*y = \gcd(a,b) a∗x+b∗y=gcd(a,b)
证明
- 若 b = 0，则当：
x = 1 , y = 0 x = 1,y = 0 x=1,y=0
公式成立。 - 若 b>0, 根据欧几里得算法：
gcd ( a , b ) = gcd ( b , a m o d b ) \gcd(a,b) = \gcd(b,a\ mod\ b) gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)
此时不妨假设存在： x 0 , y 0 x_0,y_0 x0,y0 使得
b ∗ x 0 + ( a m o d b ) ∗ y 0 = gcd ( b , a m o d b ) b*{x_0}+(a\ mod\ b)*{y_0} = \gcd(b,a\ mod\ b) b∗x0+(a mod b)∗y0=gcd(b,a mod b)
对 ( a m o d b ) (a\ mod\ b) (a mod b) 展开有：
a m o d b = a − b ∗ [ a b ] a\ mod\ b = a-b*[\frac{a}{b}] a mod b=a−b∗[ba]
代入有：
b ∗ x 0 + ( a − b ∗ [ a b ] ) ∗ y 0 = gcd ( b , a m o d b ) b*x_0+(a-b*[\frac{a}{b}])*y_0 = \gcd(b,a\ mod\ b) b∗x0+(a−b∗[ba])∗y0=gcd(b,a mod b)
分理出 x，y：
a ∗ y 0 + b ∗ ( x 0 − [ a b ] ∗ y 0 ) = gcd ( b , a m o d b ) = gcd ( a , b ) a*y_0 + b*(x_0-[\frac{a}{b}]*y_0)= \gcd(b,a\ mod\ b) = \gcd(a,b) a∗y0+b∗(x0−[ba]∗y0)=gcd(b,a mod b)=gcd(a,b)
令， x ′ = y 0 , y ′ = x 0 − [ a b ] ∗ y 0 x'= y_0,y' = x_0-[\frac{a}{b}]*y_0 x′=y0,y′=x0−[ba]∗y0, 代入上式：
a ∗ x ′ + b ∗ y ′ = gcd ( a , b ) a*x'+b*y' = \gcd (a,b) a∗x′+b∗y′=gcd(a,b)
通过以上方式，可以运用数学归纳法，得证扩展欧几里得。
代码实现
- 在欧几里得的基础上，传入 x，y，运用：
x ′ = y , y ′ = x − [ a b ] ∗ y x'= y,y' = x-[\frac{a}{b}]*y x′=y,y′=x−[ba]∗y
即可递推得的到系数 x，y。 - 代码
int extend_gcd(int a, int b, int& x, int& y)// 函数返回 a，最大公约数
{if (!b) {
x = 1, y = 0;
return a;
}
int d = gcd(b, a % b, x, y);
int t = x;// 临时记录 x
// 利用：x'= y,y' = x-[a/b]*y
x = y;
y = t - y * (a / b);
return d;
}
线性同余方程
定义
- 对于整数 a，b，m，满足：
a ∗ x ≡ b ( m o d m ) a*x \equiv b\qquad (mod\ m) a∗x≡b(mod m)
求整数 x（有解或无解）。由于未知数最高次为 1，因此又被称为一次同余方程。
求解
- 由定义式易知：
a
∗
x
−
b
a*x-b
a∗x−b 是 m 的倍数，不妨设商为
−
y
-y
−y
对定义式去模运算：
a ∗ x + m ∗ y = b a*x+m*y = b a∗x+m∗y=b
则原方程的解等价于求满足上式的 x 的值。 - 方程有解等价于：
b ∣ g c d ( a , m ) b\mid gcd(a,m) b∣gcd(a,m) - 因此可以借助扩展欧几里得进行求解
代码
int solve(int a, int m, int& x, int& y)
{if (!m) {
x = 1, y = 0;
return a;
}
int d = solve(m, a % m, x, y);
int t = x;
y = x;
x = t - (a / m) * y;
return d;
}
bool check(int m,int d)
{return m % d == 0;}
void answer(int a,int m)
{
int x, y;
int d = solve(a, m, x, y);
int answer;
if (check(m, d))
answer = (x % m + m) % m;
else
puts("impossible");
}
线性同余方程组
定义
- 对于 n 对模数与被模数
a
i
,
m
i
a_i,m_i
ai,mi, 有：
x ≡ a 1 ( m o d m 1 ) x \equiv a_1\qquad (mod\ m_1) x≡a1(mod m1)
x ≡ a 2 ( m o d m 2 ) x \equiv a_2\qquad (mod\ m_2) x≡a2(mod m2)
. . . ... ...
x ≡ a n ( m o d m n ) x \equiv a_n\qquad (mod\ m_n) x≡an(mod mn)
求解
- 中国剩余定理
设 m , M i m,M_i m,Mi 为 m = ∏ i = 1 n m i m = \prod_{i=1}^{n}{m_{i}} m=i=1∏nmi
M i = m m i M_i = \frac{m}{m_i} Mi=mim
若 m i m_i mi 之间两两互质，设 t i t_i ti 为：（ M i − 1 M_i^{-1} Mi−1）
M i ∗ t i ≡ 1 ( m o d m i ) M_i*t_i \equiv 1\qquad(mod\ m_i) Mi∗ti≡1(mod mi)
解 x x x 为：
x = ∑ i = 1 n a i ⋅ M i ⋅ t i x = \sum_{i\; =\; 1}^{n}{a_{i}\cdot M_{i}\cdot t_{i}} x=i=1∑nai⋅Mi⋅ti
- 证明——（来自 李煜东 《算法竞赛进阶指南》）
- m 不满足互余下的通解
- 取出前两个式子：
x ≡ a 1 ( m o d m 1 ) x \equiv a_1\qquad (mod\ m_1) x≡a1(mod m1)
x ≡ a 2 ( m o d m 2 ) x \equiv a_2\qquad (mod\ m_2) x≡a2(mod m2)
去模处理：
x = k 1 ∗ a 1 + m 1 x = k_1*a_1 + m_1 x=k1∗a1+m1
x = k 2 ∗ a 2 + m 2 x = k_2*a_2 + m_2 x=k2∗a2+m2
联立并化简：
k 1 ∗ a 1 − k 2 ∗ a 2 = m 2 − m 1 k_1*a_1-k_2*a_2 = m_2-m_1 k1∗a1−k2∗a2=m2−m1
根据扩展欧几里得, 求解 k 1 , k 2 k_1,k_2 k1,k2
不定方程 x = k 1 ∗ a 1 + m 1 x = k_1*a_1 + m_1 x=k1∗a1+m1 的解为：
x = ( k 1 + k a 1 g c d ( a 1 , a 2 ) ) ∗ a 1 + m 1 x = (k_1+k\frac{a_1}{gcd(a_1,a_2)})*a_1+m_1 x=(k1+kgcd(a1,a2)a1)∗a1+m1
化简：
x = a 1 ∗ k 1 + m 1 + k ∗ l c m ( a 1 , a 2 ) x = a_1*k_1+m_1+k*lcm(a_1,a_2) x=a1∗k1+m1+k∗lcm(a1,a2)
令 m = a 1 ∗ k 1 + m 1 , a = l c m ( a 1 , a 2 ) m = a_1*k_1+m_1,a = lcm(a_1,a_2) m=a1∗k1+m1,a=lcm(a1,a2)
x = k ∗ a + m x =k*a+ m x=k∗a+m
因此方程组中所有式子两两合并，n-1 次后最终可以化为一个形如 x = k ∗ a ′ + m ′ x =k*a'+m' x=k∗a′+m′ 的等式。
最终求解：
x m o d a ′ ≡ m ′ x\ mod\ a'\equiv m' x mod a′≡m′
中 x 的解，等价于： m m o d a m\ mod \ a m mod a的最小正整数。 - 代码
typedef long long LL;
LL exgcd(LL a, LL b, LL& x, LL& y)
{
if (!b) {
x = 1, y = 0;
return a;
}
LL d = exgcd(b, a % b, x, y);
LL t = x;
x = y;
y = t - (a / b) * y;
return d;
}
LL mod(LL a, LL b)
{
return ((a % b) + b) % b;
}
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
LL a, m;
bool flag = true;
scanf("%lld%lld", &a, &m);//先读入第一个式子
n--;
//读入剩余的并合并
while (n--) {
LL a0, m0;
scanf("%lld%lld", &a0, &m0);
LL k1, k2;
LL d = exgcd(a, -a0, k1, k2);
if ((m0 - m) % d) {//如果同余方程无解
flag = false;
break;
}
k1 = mod(k1 * (m0 - m) / d, abs(a0 / d));//防止溢出
m = a * k1 + m;//合并后的m = a*k1+m
a = abs(a / d * a0);//合并后的a = lcm(a,a0）
}
if (flag)
printf("%lld", mod(m, a));
else
puts("-1");
return 0;
}
标签：gcd,数论,LL,a1,int,k1,同余,mod 来源： https://blog.csdn.net/GXT020507/article/details/122791946
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