【笔记】快速莫比乌斯/沃尔什变换 (FMT/FWT)

2022-02-02 19:02:55 阅读：162 来源： 互联网

标签：begin end FMT IFWT 沃尔什 FWT cases ll

在看懂之前看大家就写了下面三个式子，感觉个个都是谜语人，然而确实只需要下面三个式子就行了...
对于 FFT，我们求的就是多项式卷积，思路是对数组变换一波，然后点乘，然后再逆变换回来

对于数组 A 和 B，求 C 定义为：$$C_i=\sum_{j\oplus k = i}A_j \times B_k$$
其中 $\oplus$ 分别可以是 or, and, xor

要看具体说明和证明看这里，下面的只要知道一些写法的含义：$A = (A_0, A_1, ...)$ 这种意思是数组拼接成新数组的表示方式；A_0也是数组，另外FWT(A)也是数组；A+B 表示数组的按位相加...

FMT 处理的是 or 和 and，其实就是二进制的高维前缀和、然后点乘后再差分，这里直接上式子：
设当前有 $2^n$ 项，$A_0$ 表示前 $2^{n-1}$ 项，就是编号最高位为 0 的部分（别忘了下标 0, 1, ..., 2^n-1）
记 $A'$ 为 $FWT(A)$

or 卷积：

\[FWT(A) = \begin{cases} (FWT(A_0), FWT(A_1)+FWT(A_0)) & (n>0) \\ A & (n=0) \end{cases} \]

\[IFWT(A') = \begin{cases} (IFWT(A'_0), IWFT(A'_1)-IWFT(A'_0)) & (n>0) \\ A' & (n=0) \end{cases} \]

and 卷积：

\[FWT(A) = \begin{cases} (FWT(A_0)+FWT(A_1), FWT(A_1)) & (n>0) \\ A & (n=0) \end{cases} \]

\[IFWT(A') = \begin{cases} (IFWT(A'_0)-IFWT(A'_1), IFWT(A'_1)) & (n>0) \\ A' & (n=0) \end{cases} \]

xor 卷积的证明以后再看...（

xor 卷积：

\[FWT(A) = \begin{cases} (FWT(A_0)+FWT(A_1), FWT(A_0)-FWT(A_1)) & (n>0) \\ A & (n=0) \end{cases} \]

\[IFWT(A') = \begin{cases} (\frac{IFWT(A'_0)+IFWT(A'_1)}{2}, \frac{IWFT(A'_0)-IFWT(A'_1)}{2}) & (n>0) \\ A' & (n=0) \end{cases} \]

模板题

#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod = 998244353;
const ll inv2 = 499122177; // inv_2 of mod
const int MAXN = 200005;
int N; ll A[MAXN], B[MAXN];
struct myFWT {
	// n must be power of 2; f [0, n-1]
	int n; ll a[MAXN], b[MAXN];
	void OR(ll *f, int type) {
		for (int mid=1; mid< n; mid<<=1)
			for (int blk=(mid<<1), j=0; j< n; j+=blk)
				for (int i=j; i< j+mid; i++)
					f[i+mid] = (f[i+mid] + f[i]*type + mod) % mod;
	}
	void AND(ll *f, int type) {
		for (int mid=1; mid< n; mid<<=1)
			for (int blk=(mid<<1), j=0; j< n; j+=blk)
				for (int i=j; i< j+mid; i++)
					f[i] = (f[i] + f[i+mid]*type + mod) % mod;
	}
	void XOR(ll *f, int type) {
		for (int mid=1; mid< n; mid<<=1)
			for (int blk=(mid<<1), j=0; j< n; j+=blk)
				for (int i=j; i< j+mid; i++) {
					ll x = f[i], y = f[i+mid];
					f[i] = (x+y) % mod * (type==1?1:inv2) % mod;
					f[i+mid] = (x-y+mod) % mod * (type==1?1:inv2) % mod;
				}
	}
	void init() {
		for (int i=0; i< n; i++) a[i] = A[i], b[i] = B[i];
	}
	void print() {
		for (int i=0; i< n; i++) printf("%lld ", a[i]); printf("\n");
	}
	void workOR () {
		init(), OR(a, 1), OR(b, 1);
		for (int i=0; i< n; i++) a[i] = a[i] * b[i] % mod;
		OR(a, -1), print();
	}
	void workAND() {
		init(), AND(a, 1), AND(b, 1);
		for (int i=0; i< n; i++) a[i] = a[i] * b[i] % mod;
		AND(a, -1), print();
	}
	void workXOR() {
		init(), XOR(a, 1), XOR(b, 1);
		for (int i=0; i< n; i++) a[i] = a[i] * b[i] % mod;
		XOR(a, -1), print();
	}
} fwt;
int main()
{
	scanf("%d", &N); N = 1<<N, fwt.n = N;
	for (int i=0; i< N; i++) scanf("%lld", &A[i]), A[i] %= mod;
	for (int i=0; i< N; i++) scanf("%lld", &B[i]), B[i] %= mod;
	fwt.workOR(), fwt.workAND(), fwt.workXOR();
}

标签：begin,end,FMT,IFWT,沃尔什,FWT,cases,ll
来源： https://www.cnblogs.com/zhyh/p/15860616.html

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【笔记】快速莫比乌斯/沃尔什变换 (FMT/FWT)

or 卷积：

and 卷积：

xor 卷积：