标签：ak mk bk 问题 therefore ans equiv

题目描述
求 a 的 b 次方对 p 取模的值，其中 0≤a,b≤10^9 0<p≤10^9
输入格式
三个用空格隔开的整数a,b和p。
输出格式
一个整数，表示a^b mod p的值。
输入样例
2 3 9
输出样例
8

此题部分数论知识
a ≡ b a\equiv b a≡b modm ⇒ \Rightarrow ⇒ a k ≡ b k a^k \equiv b^k ak≡bkmodm

此处进行简要证明：

∵ \because ∵ a ≡ b a\equiv b a≡b modm
∴ \therefore ∴ a = b + m k a=b+ mk a=b+mk
∴ \therefore ∴ a k = ( b + m k ) k a^k={(b+mk)}^k ak=(b+mk)k = b k + ∑ i = 1 k C k i b k − i ( m k ) i = b^k + \sum_{i=1}^{k}C_k^ib^{k-i}{(mk)}^i =bk+∑i=1k​Cki​bk−i(mk)i

∑ i = 1 k C k i b k − i ( m k ) i m o d m = 0 \sum_{i=1}^{k}C_k^ib^{k-i}{(mk)}^imodm=0 ∑i=1k​Cki​bk−i(mk)imodm=0
∴ \therefore ∴ a k ≡ b k a^k \equiv b^k ak≡bkmodm
即：
若 a m o d m = a n s a mod m = ans amodm=ans ⇒ \Rightarrow ⇒ a k m o d b = a n s k a^kmodb=ans^k akmodb=ansk
观察b的取值 10^9 导致暴力解法会超时，所以需要用快速幂的算法进行求幂

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
	long long a, b, p,ans = 1;
	cin >> a >> b >> p;
	while (b)
	{
		if (b & 1)
			ans = ans * a % p;
		a = a * a % p;
		b >>= 1 ;
	}
	cout << ans % p;
}

标签：ak,mk,bk,问题,therefore,ans,equiv
来源： https://blog.csdn.net/m0_51717226/article/details/122598730

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