标签:right end 矩阵 cdots 简单 array lambda 征值 vdots
这是个很简单的矩阵练习题,录在这里玩玩。
1. 问题描述
一个 \(n \times n\) 的方阵,所有对角元都是 0,所有非对角元都是 1,求本征值。
\[M_n = \left| \begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 0 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & 0 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 0 \\ \end{array} \right| \]2. 问题解答
假设行列式
\[A_n ( \lambda ) = \left| \begin{array}{ccccc} \lambda & -1 & -1 & \cdots & -1 \\ -1 & \lambda & -1 & \cdots & -1 \\ -1 & -1 & \lambda & \cdots & -1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -1 & -1 & -1 & \cdots & \lambda \\ \end{array} \right|, ~~~~~ B_n(\lambda ) = \left| \begin{array}{ccccc} -1 & -1 & -1 & \cdots & -1 \\ -1 & \lambda & -1 & \cdots & -1 \\ -1 & -1 & \lambda & \cdots & -1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -1 & -1 & -1 & \cdots & \lambda \\ \end{array} \right|, \]所以这个本征值问题就是求 \(A_n(\lambda) = 0\) 的根。
容易看出,
根据 \(A_1(\lambda) = \lambda, B_1(\lambda) = -1\),再推几项,很容易总结出:
\[A_n(\lambda) = (\lambda + 1)^{n-1}[ \lambda - (n-1)], \\ B_n(\lambda) = - (\lambda + 1)^{n-1}. \]可以验证,它们满足上面的递推式。
3. 本征矢特点
\(\lambda = n-1\) 的时候,本征矢最具对称性:
\[\vec{v} = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{array} \right] \]标签:right,end,矩阵,cdots,简单,array,lambda,征值,vdots 来源: https://www.cnblogs.com/luyi07/p/15781521.html
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