与道路连通空间同伦的拓扑空间也道路连通
\(X, Y\) 是拓扑空间，\(X\) 道路连通，假设 \(Y\) 道路不连通
\(f\circ g\simeq id_Y, g\circ f \simeq id_X\)
<iframe class="quiver-embed" height="176" src="https://q.uiver.app/?q=WzAsMixbMCwwLCJYIl0sWzIsMCwiWSJdLFswLDEsImYiLDAseyJjdXJ2ZSI6LTF9XSxbMSwwLCJnIiwwLHsiY3VydmUiOi0xfV1d&embed" style="border-radius: 8px; border: none" width="432"></iframe>证明：
\(f\) 连续，因而 \(f(X)\) 道路连通，不妨设其在 \(Y\) 的道路分支 \(V_1\) 中
所以 \(f(g(Y))\) 也在 \(V_1\) 中
取 \(Y\) 另一道路分支 \(V_2\) 中一点 \(y_0\)，有 \(y_1 = f\circ g (y_0)\) 是 \(V_1\) 中一点
设 \(H: id_Y \simeq f\circ g\)，那么 \(\gamma(t) = H(y_0, t)\) 是 \(y_0\) 到 \(y_1\) 的一条道路，这矛盾，因而 \(Y\) 必定道路连通
标签：simeq,拓扑,连通,circ,道路,习题,id 来源： https://www.cnblogs.com/human-in-human/p/15734773.html
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