首页 > 其他分享> 文章详细

实变函数自制笔记6：初识可测函数

2021-12-09 16:00:06 阅读：177 来源： 互联网

标签：实变可测函数 7D% 5C% 20% 20x%

1、可测函数及其与简单函数的联系：

可测函数：若 $f\left ( x \right )$ 为定义在可测集 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 上的广义实值函数，若 $\forall a\in \mathbb{R}$ ，点集 $E\left \{ f(x)>a \right \}= \left \{ x\mid x\in E,f(x)>a \right \}$ 为可测集，则 $f\left ( x \right )$ 为 $E$ 上的可测函数， $f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上可测；
简单函数：可测集 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 可以分为有限个不相交的的可测集 $E_{1},E_{2},\cdots ,E_{n}$ ，且 $\bigcup_{i=1}^{n}E_{i}=E$ ，若函数在每个可测集 $E_{i}$ 上取值都为常数 $C_{i}$ ，则称 $E$ 上的函数 $\psi \left ( x \right )=C_{i}\left (x\in E_{i} \right )$ 为简单函数；
特征函数：对于集合 $E$ ，其特征函数为 $\chi _{E}\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} 1, & x\in E\\ 0, & x\notin E \end{matrix}\right.$ ；则简单函数可以表示为 $\psi \left ( x \right )=\sum_{i=1}^{n}C_{i}\chi _{E_{i}}\left ( x \right )$ ；特别地，当每个 $E_{i}$ 是矩体时，称 $\psi \left ( x \right )$ 为阶梯函数；
实值函数的正负部分解： $f^{+}\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} f\left ( x \right ), &f\left ( x \right )\geqslant 0 \\0, & f\left ( x \right )< 0\end{matrix}\right.$ ； $f^{-}\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} -f\left ( x \right ), &f\left ( x \right )< 0 \\0, & f\left ( x \right )\geqslant 0\end{matrix}\right.$ ；则 $f=f^{+}-f^{-},\left |f \right |=f^{+}+f^{-}$ ；
可测函数的相关定理：

对于可测集 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ ， $E$ 上的简单函数 $\psi \left ( x \right )$ 是可测的；
（简单函数逼近定理1）若 $f\left ( x \right )$ 为定义在可测集 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 上的非负函数，则有： $f\left ( x \right )$ 在 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 上非负可测 $\Leftrightarrow \exists E$ 上的非负渐增的简单函数列 $\left \{ \psi _{m}\left ( x \right ) \right \}\left ( 0\leq \psi _{1}\left ( x \right ) \leq \psi _{2}\left ( x \right )\leq\cdots \leq \psi _{m}\left ( x \right )\leq \cdots \right )$ ，有 $f\left ( x \right )=\lim_{m\rightarrow \infty }\psi _{m}\left ( x \right ),x\in E$ ；
（简单函数逼近定理2）若 $f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上可测，则 $\exists \left \{ \psi _{m}\left ( x \right ) \right \}$ 为可测简单函数列，使得 $\left | \psi _{m}\left ( x \right ) \right |\leqslant \left | f\left ( x \right ) \right |$ ，且有 $f\left ( x \right )=\lim_{m\rightarrow \infty }\psi _{m}\left ( x \right ),x\in E$ ；
$f\left ( x \right )$ 可测 $\Leftrightarrow f^{+},f^{-}$ 都是可测函数；
若 $f\left ( x \right )$ 为定义在可测集 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 上的函数，则有： $f\left ( x \right )$ 在 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 上可测当且仅当以下条件之一成立：
1. $\forall a\in \mathbb{R},\left \{ x\mid x\in E,f(x)\geqslant a \right \}=\bigcap_{k=1}^{\infty }\left \{ x\mid x\in E,f(x)>a-\frac{1}{k} \right \}$ 可测；
2. $\forall a\in \mathbb{R},\left \{ x\mid x\in E,f(x)< a \right \}=E-\left \{ x\mid x\in E,f(x)\geqslant a \right \}$ 可测；
3. $\forall a\in \mathbb{R},\left \{ x\mid x\in E,f(x)\leqslant a \right \}=E-\left \{ x\mid x\in E,f(x)> a \right \}$ 可测；
4. $\forall a\in \mathbb{R},\left \{ x\mid x\in E,f(x)= a \right \}=\left \{ x\mid x\in E,f(x)\geqslant a \right \} \cap \left \{ x\mid x\in E,f(x)\leqslant a \right \}$ 可测；
5. $\left \{ x\mid x\in E,f(x)< +\infty \right \}=\bigcup_{k=1}^{\infty } \left \{ x\mid x\in E,f(x)< k \right \}$ 可测；
6. $\left \{ x\mid x\in E,f(x)= +\infty \right \}=E- \left \{ x\mid x\in E,f(x)< +\infty \right \}$ 可测；
7. $\left \{ x\mid x\in E,f(x)>-\infty \right \}=\bigcup_{k=1}^{\infty } \left \{ x\mid x\in E,f(x)>- k \right \}$ 可测；
8. $\left \{ x\mid x\in E,f(x)= -\infty \right \}=E- \left \{ x\mid x\in E,f(x)>-\infty \right \}$ 可测；
若 $f\left ( x \right )$ 为定义在可测集 $E_{1}\cup E_{2}\subset \mathbb{R}^{n}$ 上的广义实值函数，则 $f\left ( x \right )$ 在 $E_{1},E_{2}$ 上均可测 $\Leftrightarrow f\left ( x \right )$ 在 $E_{1}\cup E_{2}$ 上可测；
若 $f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上可测， $A$ 是 $E$ 中的可测集，则 $f\left ( x \right )$ 看做是在 $A$ 上的函数，在 $A$ 上也是可测的；

2、几乎处处类概念：

几乎处处成立/是真的 $P\left ( x \right ),\textup{a.e. } x\in E$ ：已知可测集 $E$ ，而 $P\left ( x \right )$ 为与这个可测集 $E$ 中的点 $x$ 有关的命题；若除了 $E$ 中的一个零测集外 $P\left ( x \right )$ 均成立，则称 $P\left ( x \right )$ 在 $E$ 上几乎处处成立/是真的；
几乎处处相等 $f\left ( x \right )=g\left ( x \right ),\textup{a.e. }x\in E$ ：已知 $f\left ( x \right ),g\left ( x \right )$ 为 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 上的可测函数，若 $m\left \{ x\mid x\in E,f\left ( x \right )\neq g\left ( x \right ) \right \}=0$ ，则称 $f\left ( x \right ),g\left ( x \right )$ 在 $E$ 上几乎处处相等；
几乎处处有限的 $\left | f\left ( x \right ) \right |< \infty ,\textup{a.e. }x\in E$ ：已知 $f\left ( x \right )$ 为 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 上的可测函数，若 $m\left \{ x\mid x\in E,\left |f\left ( x \right ) \right |=+\infty \right \}=0$ ，则称 $f\left ( x \right ),g\left ( x \right )$ 在 $E$ 上是几乎处处有限的；
几乎处处收敛 $f_{k}\left ( x \right )\rightarrow f\left ( x \right ),\textup{a.e. }x\in E$ ：已知 $f\left ( x \right ),f_{1}\left ( x \right ),f_{2}\left ( x \right ),\cdots ,f_{k}\left ( x \right ),\cdots$ 为 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 上的广义实值函数，若满足 $\exists E_{0}\subset E,m\left ( E_{0} \right )=0$ 和 $\forall x\in E-E_{0},\lim_{k\rightarrow \infty }f_{k}\left ( x \right )=f\left ( x \right )$ 两个条件，则称 $\left \{ f_{k}\left ( x \right ) \right \}$ 在 $E$ 上是几乎处处收敛于 $f\left ( x \right )$ ；

3、可测函数的基本性质：

若 $f\left ( x \right )=g\left ( x \right ),\textup{a.e. }x\in E$ ，则 $f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上可测时， $g\left ( x \right )$ 也在 $E$ 上可测；
若 $f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上可测， $E_{0}$ 是 $E$ 的可测子集，则 $f\left ( x \right )$ 在 $E_{0}$ 上可测；
若 $f\left ( x \right )$ 在 $E_{i}\left ( i=1,2,\cdots \right )$ 上可测，则 $f\left ( x \right )$ 在 $\bigcup_{i=1}^{\infty }E_{i}$ 上可测；
若 $f\left ( x \right ),g\left ( x \right )$ 为 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 上的可测函数，则满足以下性质：
1. $cf\left ( x \right )\left ( c\in \mathbb{R} \right )$ 在 $E$ 上可测；
2. 若 $f\left ( x \right )+g\left ( x \right )$ 在 $E$ 上几乎处处有意义时， $f\left ( x \right )+g\left ( x \right )$ 在 $E$ 上可测；
3. 若 $f\left ( x \right )g\left ( x \right )$ 在 $E$ 上几乎处处有意义时， $f\left ( x \right )g\left ( x \right )$ 在 $E$ 上可测；
4. 若 $\frac{f\left ( x \right )}{g\left ( x \right )}$ 在 $E$ 上几乎处处有意义时， $\frac{f\left ( x \right )}{g\left ( x \right )}$ 在 $E$ 上可测；
若 $\left \{ f_{k}\left ( x \right ) \right \}$ 为 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 上的可测函数列，则 $\sup_{k\geqslant 1}\left \{ f_{k}\left ( x \right ) \right \},\inf_{k\geqslant 1}\left \{ f_{k}\left ( x \right ) \right \},\varlimsup_{k\rightarrow \infty }f_{k}\left ( x \right ),\varliminf_{k\rightarrow \infty }f_{k}\left ( x \right )$ 均在 $E$ 上可测；
若 $\left \{ f_{k}\left ( x \right ) \right \}$ 为 $E\subset \mathbb{R}^{n}$ 上的可测函数列，且 $f_{k}\left ( x \right )\rightarrow f\left ( x \right ),\textup{a.e. }x\in E$ ，则 $f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上可测；
$f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上可测 $\Leftrightarrow f^{+},f^{-}$ 均在 $E$ 上可测；
$f\left ( x \right )$ 在 $E$ 上可测 $\Rightarrow \left | f\left ( x \right ) \right |$ 在 $E$ 上可测；

标签：实变,可测,函数,7D%,5C%,20%,20x%
来源： https://blog.csdn.net/qq_42914565/article/details/121534038

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。

ICode9

实变函数自制笔记6：初识可测函数