二分的模板

2021-12-06 20:30:00 阅读：109 来源： 互联网

二分查找元素要求数组的有序性，或者拥有类似与有序的性质。

本题要找到不小于该元素的最小位置和不大于该元素的最大位置，两个界限，所以写两个二分

查找不小于 x 的第一个位置，代码如下：

int l = 0, r = n - 1;

while(l < r)
{
    int mid = l + r >> 1;
    if(a[mid] < x) l = mid + 1;
    else r = mid;
}

查找第二个位置：

int l = 0, r = n - 1;
while(l < r)
{
    int mid = l + r + 1 >> 1;
    if(a[mid] <= x) l = mid;   边界划分为 l = mid 时， mid要加 1
    else r = mid - 1;
}

完整代码：

#include <iostream>
using namespace std;
const int maxn = 100005;
int n, q, x, a[maxn];
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &q);
    for (int i = 0; i < n; i++)    scanf("%d", &a[i]);
    while (q--) {
        scanf("%d", &x);
        int l = 0, r = n - 1;
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1;
            if (a[mid] < x)  l = mid + 1;
            else    r = mid;
        }
        if (a[l] != x) {
            printf("-1 -1\n");
            continue;
        }
        int l1 = l, r1 = n;
        while (l1 + 1 < r1) {
            int mid = l1 + r1 >> 1;
            if (a[mid] <= x)  l1 = mid;
            else    r1 = mid;
        }
        printf("%d %d\n", l, l1);
    }
    return 0;
}

如果想深入思考

当a[mid]小于x时，令l = mid + 1，mid及其左边的位置被排除了，可能出现解的位置是mid + 1及其后面的位置；当a[mid] >= x时，说明mid及其左边可能含有值为x的元素；当查找结束时，l与r相遇，l所在元素若是x则一定是x出现最小位置，因为l左边的元素必然都小于x。查找不大于x的最后一个位置，便不容易了：

int l1 = l, r1 = n;
while (l1 + 1 < r1) {
int mid = l1 + r1 >> 1;
if (a[mid] <= x) l1 = mid;
else r1 = mid;
}
要查找不大于x的最后一个位置，当a[mid] <= x时，待查找元素只可能在mid及其后面，所以l = mid；当a[mid] > x时，待查找元素只会在mid左边，令r = mid。
为什么不令r = mid - 1呢？因为如果按照上一个二分的写法，循环判断条件还是l < r,当只有两个元素比如2 2时，l指向第一个元素，r指向第二个元素，mid指向第一个元素，a[mid] <= x，l = mid还是指向第一个元素，指针不移动了，陷入死循环了，此刻l + 1 == r，未能退出循环。
那么直接把循环判断条件改成l + 1 < r呢？此时一旦只有两个元素，l和r差1，循环便不再执行，查找错误。
所以这里出现了二分的典型错误，l == r作为循环终止条件，会出现死循环，l + 1 == r作为循环终止条件，会出现查找错误。
问题如何解决，一种方法就是将查找的区间设置为左闭右开，比如待查找元素在[0,n - 1]范围内，可以写成[0,n)，令r = n，这时候只有两个元素时，r是取最右边元素的后一个位置的，l和r相差2，还会执行循环。
现在再来理解上一段的r1 = mid，说明a[mid] > x时，r = mid就表示待查找元素会是在r的左边，因为r是开区间。上面这种写法修改了循环条件使得二分不会死循环，修改了区间的开闭性使得不会查找错误。另一种解决办法就是：

int l = 0, r = n - 1;
while (l < r)
{
int mid = l + r + 1 >> 1;
if (a[mid] <= x) l = mid;
else r = mid - 1;
}
不修改循环终止条件，想办法解决死循环的问题，首先想下为什么查找不小于x的第一个位置不会死循环？因为这时就算只有两个元素，l + 1 = r,mid = l,a[mid]小于x时l是会+1的，不小于x时r = mid也会缩小区间。
而查找不大于x的最后一个位置之所以会死循环是因为编程语言里面除以2的下取整性，试想下如果l + 1 = r时，mid = （l + r） / 2 = l，一旦a[mid] <= x,l = mid = l，区间并没有缩小，从而陷入死循环；如果一开始取mid为r，一旦a[mid] <= x,l = mid = r,区间缩小，否则r = mid - 1 = l区间缩小，l都会与r相遇，就不会陷入死循环了。
如何做到上取整呢？只需要取mid时在l + r后面再加1即可，这里l和r都是闭区间，所以当a[mid] > x时，r = mid - 1.
是否还有其他办法既不修改区间的开闭性和循环终止条件，又不用上取整呢？答案是肯定的。

int l1 = l, r1 = n - 1;
while (l1 < r1) {
int mid = l1 + r1 >> 1;
if (a[mid] <= x) l1 = mid + 1;
else r1 = mid - 1;
}
printf("%d %d\n", l, l1 - (a[l1] == x ? 0 : 1));
我们之所以会进行第二轮查找不大于x的最后一个位置，是因为第一轮已经找到了一个等于x的位置。所以完全可以当a[mid] <= x时，令l = mid + 1，此时，l指向的元素可能是x也可能比x大，但是由于不论大小，l和r的指针都移动了，就不会陷入死循环了，最后，如果a[l] == x则，l就是x出现的最后的位置，否则，l - 1就是x出现的最后一个位置。或许有人会疑惑，当a[mid] <= x时，l已经右移，最后l不是肯定指向的是大于x的位置嘛，为什么也可能指向等于x的位置？这是因为一旦第一轮查找的x出现的位置就是x唯一出现的位置，当x出现在数组末尾时，l == r，循环不会执行，此刻l指向的还是x，所以加上这个判断就可以解决该问题了。这也是二分程序可能遇见的第三种问题，当左右指针都移动时，待查找元素处在元素末尾会引起查找错误。

作者：昂昂累世士
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来源：AcWing
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标签：二分,r1,int,元素,mid,查找,l1,模板
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