标签：多重 partial int 积分 面积 dxdy rho iint

多重积分 线面积分

Pre:二重/三重积分

极坐标下的二重积分

\[dxdy=\rho d\theta d\rho \]

因为有:

\[d\delta=d\theta/2\pi\cdot\pi\cdot((\rho+d\rho)^2-\rho^2) \]

三重积分的球坐标

\[dxdydz=r^2sin\varphi d\rho d\varphi d\theta \]

三重积分的柱坐标

\[dxdydz=dsdz=\rho d\theta d\rho dz \]

形心

\[\bar x=\frac{\iint_D x\ dxdy}{\iint_D dxdy} \]

一类

一类线积分

对于质量的积分.

如果有参数式\(x=g(t),y=h(t)\),那么有

\[\int_L f(x,y)ds=\int f\cdot\sqrt{g'^2+h'^2}\ dt \]

一类面积分

\[\iint f(x,y,z)ds=\iint_{Proj}f(x,y,z(x,y))\cdot\sqrt{1+z_x'^2+z_y^2}dxdy \]

二类

二类线积分

\[\int_L Pdx+Qdy=Pg'+Qh'\ dt \]

定符号:右手定则

GL公式

\[\int_{Loop} Pdx+Qdy= \iint_\Sigma Q/\partial x - P/ \partial y \ dxdy \]

注意闭环内无定义的点要特别挖出来.典型的例如\(\frac{1}{x^2+y^2}\)在(0,0)无定义,需要挖一块\(x^2+y^2=r^2.\)出来.注意定号.

当\(Q/\partial x = P/ \partial y\),积分在有定义区域内积分和路径无关.

定号方式:

设要求L1逆时针的积分 中间挖了一个洞L2,顺时针

则有

\[\int_{L1}+\int_{L2}=0 \int_{L1}=-\int_{L2}=\int_{-L2} \]

即求L2的逆时针.

二类面积分

\[\int Pdydz+Qdxdz+Rdxdy \]

对于其中一个分量:

\[\int R dxdy=\iint_{Proj}R(x,y,z(x,y))dxdy \]

定号:依方向的坐标轴.

GS公式

对于闭空间面

\[\iiint_{\Sigma} Pdydz+Qdxdz+Rdxdy=\iiint P/\partial x+Q/\partial y+R/\partial z dxdydz \]

定符号为外侧为正.同GL公式,当没有定义的时候挖洞.

STKS公式:空间曲线的二类积分

对于空间曲线的二类积分

定号:平面的法向量=闭曲线的右手定则

物理应用

• 形心:\(\bar x=\frac{\iint_D x\ dxdy}{\iint_D dxdy}\)

• 转动惯量:\(I=r^2\rho(x,y,z)dv\),r为到转动轴的距离.

标签：多重,partial,int,积分,面积,dxdy,rho,iint
来源： https://www.cnblogs.com/IRIDIUM-192/p/15641108.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。