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动态规划
文章目录
背包问题
01背包 ——每件物品只能使用一次。
- 状态方程 ：
f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
二维
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N =10010;
int v[N],w[N]; // 体积 ，价值
int f[N][N]; // f[i][j] : 表示前 i 个 总体积不超过j
int n,m;
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);
//f[0][0~m] =0
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=m;j++)
{
f[i][j]= f[i-1][j];
if(j>=v[i]) f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
}
cout<<f[n][m]<<endl;
return 0;
}
一维
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N =1010;
int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N];
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=m;j>=v[i];j--)
f[j]= max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
cout<<f[m];
return 0;
}
完全背包 —— 每种物品都有无限件可用。
二维
状态方程：
- 完全背包：
f[i][j]= max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]); - 0 1背包：
f[i][j]= max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N =1010;
int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N][N];
int main(){
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
{
f[i][j]=f[i-1][j];
if(j>=v[i])
f[i][j]= max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
}
cout<<f[n][m]<<endl;
return 0;
}
一维
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1010;
int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N];
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=v[i];j<=m;j++)
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
cout<<f[m];
return 0;
}
多重背包——第 i 种物品最多有 si 件
暴力写法
状态表示：
f[i][j]: 在前i个数中选,总体积不超过j；
状态计算：
f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]*k]+w[i]*k); (k:0~该数最多取几个)
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N =110;
int n,m;
int v[N],w[N],s[N];
int f[N][N];
int main(){
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=0;j<=m;j++)
for(int k=0;k<=s[i]&&k*v[i]<=j;k++)
f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]*k]+w[i]*k);
cout<<f[n][m]<<endl;
return 0;
}
二进制优化写法
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 12010, M = 2010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[M];
int main()
{
cin >> n >> m;
int cnt = 0;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
int a, b, s;
cin >> a >> b >> s;
int k = 1;
while (k <= s) // k取 1,2,4,8.……, <=s
{
cnt ++ ;
v[cnt] = a * k;
w[cnt] = b * k;
s -= k;
k *= 2;
}
if (s > 0) // s还有就直接放进去
{
cnt ++ ;
v[cnt] = a * s;
w[cnt] = b * s;
}
}
n = cnt;
//01背包
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = m; j >= v[i]; j -- )
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
cout << f[m] << endl;
return 0;
}
分组背包——每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 110;
int n, m;
int v[N][N], w[N][N], s[N];
int f[N];
int main()
{
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
cin >> s[i];
for (int j = 0; j < s[i]; j ++ )
cin >> v[i][j] >> w[i][j]; // 体积是 vij，价值是 wij，其中 i 是组号，j 是组内编号。
}
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = m; j >= 0; j -- )
for (int k = 0; k < s[i]; k ++ )
if (v[i][k] <= j)
f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);
cout << f[m] << endl;
return 0;
}
背包问题中 的方案数问题
原始做法
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 10010, M = 110;
int f[N][N], a[M];
int main() {
int n, m;
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
f[0][0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
f[i][0] = 1;
for (int j = 1; j <= m; j++) {
f[i][j] = f[i - 1][j];
if (j >= a[i]) f[i][j] += f[i - 1][j - a[i]];
}
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
优化空间
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 10010, M = 110;
int f[N], a[M];
int main() {
int n, m;
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
f[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = m; j >= a[i]; j--) f[j] += f[j - a[i]];
}
cout << f[m] << endl;
return 0;
}
线性DP
数字三角形
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 510;
int n;
int w[N][N]; // 原三角形数。
int f[N][N]; //f[i][j]: 自下向上 到达 f[i][j]的路径最大值
int main()
{
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=i;j++)
cin>>w[i][j];
for(int j=1;j<=n;j++)
f[n][j] = w[n][j]; // 对三角形最底层的数 初始化
for(int i=n-1;i;i--)
for(int j=1;j<=i;j++)
f[i][j]=max(f[i+1][j]+w[i][j],f[i+1][j+1]+w[i][j]); //自下向上推
cout<<f[1][1]<<endl;
return 0;
}
最长上升子序列
朴素写法
- 状态方程 ：if(a[j]<a[i]) f[i]=max(f[i],f[j]+1);
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1010;
int f[N];
int a[N];
int n;
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
for(int i=1;i<=n;i++){
f[i]=1; // 初始只有a[i]
for(int j=1;j<i;j++)
if(a[j]<a[i])
f[i]=max(f[i],f[j]+1);
}
int res=1;
for(int i=1;i<=n;i++)res=max(res,f[i]);
cout<<res;
return 0;
}
二分写法
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n;
int a[N];
int q[N];
int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d", &a[i]);
int len = 0;
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
int l = 0, r = len;
while (l < r)
{
int mid = l + r + 1 >> 1;
if (q[mid] < a[i]) l = mid;
else r = mid - 1;
}
len = max(len, r + 1);
q[r + 1] = a[i];
}
printf("%d\n", len);
return 0;
}
最长公共子序列
-
集合表示：
f[i][j]表示a的前i个字母，和b的前j个字母的最长公共子序列长度 -
集合划分：以a[i],b[j]是否包含在子序列当中为依据，因此可以分成四类：
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n , m;
char a[N] , b[N];
int f[N][N];
int main()
{
cin >> n >> m;
cin >> a + 1 >> b + 1;
for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
for(int j = 1 ; j <= m ; j++)
{
f[i][j] = max(f[i - 1][j] , f[i][j - 1]);//②和③的情况一定存在，所以可以无条件优先判断
if(a[i] == b[j]) f[i][j] = max(f[i][j] , f[i - 1][j - 1] + 1);
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
区间DP
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 310;
int f[N][N]; // f[i][j]: 在（i，j）区间的最小代价
int s[N];
int n;
int main()
{
cin>>n;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )cin>>s[i],s[i]+=s[i-1];
for (int len = 2; len <= n; len ++ ){
for (int i = 1; i+len-1 <= n; i ++ ){
int l = i;
int r = l+len-1;
f[l][r]=1e8;
for (int k = l; k <=r; k ++ ){
f[l][r] = min(f[l][r],f[l][k]+f[k+1][r]+s[r]-s[l-1]);
}
}
}
cout<<f[1][n];
return 0;
}
记忆化搜索
- 例题 ： 滑雪场
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 310;
int n, m;
int g[N][N];
int f[N][N];
int dx[4] = {-1, 0, 1, 0}, dy[4] = {0, 1, 0, -1};
int dp(int x, int y)
{
int &v = f[x][y];
if (v != -1) return v;
v = 1;
for (int i = 0; i < 4; i ++ )
{
int a = x + dx[i], b = y + dy[i];
if (a >= 1 && a <= n && b >= 1 && b <= m && g[x][y] > g[a][b])
v = max(v, dp(a, b) + 1);
}
return v;
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 1; j <= m; j ++ )
scanf("%d", &g[i][j]);
memset(f, -1, sizeof f);
int res = 0;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 1; j <= m; j ++ )
res = max(res, dp(i, j));
printf("%d\n", res);
return 0;
}
杂论补充
贪心
区间问题
区间选点
- 给定 N 个闭区间 [ai,bi] ，请你在数轴上选择尽量少的点，使得每个区间内至少包含一个选出的点。
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 100010;
struct Range{ // 区间的结构体
int l,r;
bool operator<(const Range &w)const{ // 重载小于运算符： 为了sort用
return r<w.r;
}
}range[N];
int n,a,b;
int main()
{
cin>>n;
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
scanf("%d%d", &a, &b);
range[i]={a,b};
}
sort(range,range+n); // 按右端点排序（小到大）
int res=0,ed=-2e9; // ed : 区间端点，因为刚开始还没有设置 。所以设置非常小的数
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
if(range[i].l>ed) // 如果当前区间的左端点在选出点的右边，说明当前区间和之前区间不重合， 需要个数++。 然后把选出点，设置为当前区间的右端点。
{
res++;
ed=range[i].r;
}
}
cout << res;
return 0;
最大不相交的区间数量
-
给定 N 个闭区间 [ai,bi]，请你在数轴上选择若干区间，使得选中的区间之间互不相交（包括端点）。
输出可选取区间的最大数量。
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 100010;
struct Range{
int l,r;
bool operator<(const Range &w)const{
return r<w.r;
}
}range[N];
int n;
int a,b;
int main()
{
cin>>n;
for (int i = 0; i < n; i ++ ){
cin>>a>>b;
range[i]={a,b};
}
sort(range,range+n);
int res =0,ed=-2e9;
for (int i = 0; i < n; i ++ ){
if(range[i].l>ed){
res++;
ed=range[i].r;
}
}
cout<<res;
return 0;
}
区间分组
- 给定 N 个闭区间 [ai,bi]，请你将这些区间分成若干组，使得每组内部的区间两两之间（包括端点）没有交集，并使得组数尽可能小。
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n;
struct Range
{
int l, r;
bool operator< (const Range &W)const
{
return l < W.l;
}
}range[N];
int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
int l, r;
scanf("%d%d", &l, &r);
range[i] = {l, r};
}
sort(range, range + n);
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> heap;
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
auto r = range[i];
if (heap.empty() || heap.top() >= r.l) heap.push(r.r);
else
{
heap.pop();
heap.push(r.r);
}
}
printf("%d\n", heap.size());
return 0;
}
区间覆盖
-
给定 N 个闭区间 [a**i,b**i] 以及一个线段区间 [s,t]，请你选择尽量少的区间，将指定线段区间完全覆盖。
输出最少区间数，如果无法完全覆盖则输出 −1。
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n;
struct Range
{
int l, r;
bool operator< (const Range &W)const
{
return l < W.l;
}
}range[N];
int main()
{
int st, ed;
scanf("%d%d", &st, &ed);
scanf("%d", &n);
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
int l, r;
scanf("%d%d", &l, &r);
range[i] = {l, r};
}
sort(range, range + n);
int res = 0;
bool success = false;
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
int j = i, r = -2e9;
while (j < n && range[j].l <= st)
{
r = max(r, range[j].r);
j ++ ;
}
if (r < st)
{
res = -1;
break;
}
res ++ ;
if (r >= ed)
{
success = true;
break;
}
st = r;
i = j - 1;
}
if (!success) res = -1;
printf("%d\n", res);
return 0;
}
哈夫曼树——合并果子
合并任意两堆
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
int n,x;
priority_queue<int, vector<int>,greater<int>>heap;
int main()
{
cin >> n;
while (n -- )cin>>x,heap.push(x);
int res=0;
while(heap.size()>1){
int a = heap.top();heap.pop();
int b = heap.top();heap.pop();
res+=(a+b);
heap.push(a+b);
}
cout << res;
return 0;
}
绝对值不等式——货场选址
-
在一条数轴上有 N 家商店，它们的坐标分别为 A1∼AN。现在需要在数轴上建立一家货仓，每天清晨，从货仓到每家商店都要运送一车商品。
为了提高效率，求把货仓建在何处，可以使得货仓到每家商店的距离之和最小。
结论 ： if（n == 奇数）选 中位数 else 选 中间两数中间 （记得排序）
注：中位数 不管是奇数还是偶数 ，都可以写做a[n/2]
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n;
int a[100010];
int main(){
cin >> n;
for (int i = 0; i < n; i ++ )scanf("%d",&a[i]);
sort(a,a+n);
int res=0;
for (int i = 0; i < n; i ++ ) res+=abs(a[i]-a[n/2]);
cout << res;
return 0;
}
数论
约数个数
- 给定 n 个正整数 ai，请你输出这些数的乘积的约数个数，答案对 1e9+7 取模。
/*
如果 N = p1^c1 * p2^c2 * ... *pk^ck
约数个数： (c1 + 1) * (c2 + 1) * ... * (ck + 1)
约数之和： (p1^0 + p1^1 + ... + p1^c1) * ... * (pk^0 + pk^1 + ... + pk^ck)
*/
#include<iostream>
#include<unordered_map>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=110,mod=1e9+7;
int main(){
int n;
cin>>n;
unordered_map<int,int>primes;
while(n--){
int x;
cin>>x;
for(int i=2;i<=x/i;i++){
while(x%i==0){
x/=i;
primes[i]++;
}
}
if(x>1)primes[x]++;
}
LL res=1;
for(auto p:primes)res=res*(p.second+1)%mod;
cout<<res<<endl;
return 0;
}
约数之和
- 给定 n 个正整数 ai，请你输出这些数的乘积的约数之和，答案对 1e9+7 取模。
/*
如果 N = p1^c1 * p2^c2 * ... *pk^ck
约数个数： (c1 + 1) * (c2 + 1) * ... * (ck + 1)
约数之和： (p1^0 + p1^1 + ... + p1^c1) * ... * (pk^0 + pk^1 + ... + pk^ck)
*/
#include<iostream>
#include<unordered_map>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=110,mod=1e9+7;
int main(){
int n;
cin>>n;
unordered_map<int,int>primes;
while(n--){
int x;
cin>>x;
for(int i=2;i<=x/i;i++){
while(x%i==0){
x/=i;
primes[i]++;
}
}
if(x>1)primes[x]++;
}
/* 约数个数
LL res=1;
for(auto p:primes)res=res*(p.second+1)%mod;
cout<<res<<endl;
*/
/*约数之和 */
LL res = 1;
for (auto p : primes)
{
LL a = p.first, b = p.second;
LL t = 1;
while (b -- ) t = (t * a + 1) % mod;
res = res * t % mod;
}
cout << res << endl;
return 0;
}
搜索进阶
Flood Fill
连通块的个数
- 池塘计数
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 1010, M = N * N;
int n, m;
char g[N][N];
PII q[M];
bool st[N][N];
void bfs(int sx, int sy)
{
int hh = 0, tt = 0;
q[0] = {sx, sy};
st[sx][sy] = true;
while (hh <= tt)
{
PII t = q[hh ++ ];
for (int i = t.x - 1; i <= t.x + 1; i ++ )
for (int j = t.y - 1; j <= t.y + 1; j ++ )
{
if (i == t.x && j == t.y) continue;
if (i < 0 || i >= n || j < 0 || j >= m) continue;
if (g[i][j] == '.' || st[i][j]) continue;
q[ ++ tt] = {i, j};
st[i][j] = true;
}
}
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%s", g[i]);
int cnt = 0;
for (int i = 0; i < n; i ++ )
for (int j = 0; j < m; j ++ )
if (g[i][j] == 'W' && !st[i][j])
{
bfs(i, j);
cnt ++ ;
}
printf("%d\n", cnt);
return 0;
}
红与黑
- BFS
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
#define x first
#define y second
int m,n;
char g[25][25];
int bfs(int sx,int sy)
{
queue<PII>q;
q.push({sx,sy}); // @ 坐标 入队。
g[sx][sy]='#'; // 入队后 ，标记已走过。
int res=0;
//偏移量 ： {上，右，下，左}
int dx[]={-1,0,1, 0}; //行方向
int dy[]={ 0,1,0,-1}; //列方向
while(q.size())
{
PII t= q.front();
q.pop();
res++;
for(int i=0;i<4;i++) //遍历 四个方向的邻点
{
int x=t.x+dx[i],y=t.y+dy[i];
if(x<0||x>=n||y<0||y>=m||g[x][y]!='.')continue;
g[x][y]='#';
q.push({x,y});
}
}
return res;
}
int main()
{
while(cin>>m>>n,n||m) // m 列 n 行
{
for(int i=0;i<n;i++) cin>>g[i]; //输入n行字符串
int x,y;// @ 所在位置的坐标
for(int i=0;i<n;i++) // 寻找 @的所在位置
for(int j=0;j<m;j++)
if(g[i][j]=='@')
{
x=i;y=j;
}
cout<<bfs(x,y)<<endl;
}
return 0;
}
- dfs
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 25;
int n, m;
char g[N][N];
bool st[N][N];
int dx[4] = {-1, 0, 1, 0}, dy[4] = {0, 1, 0, -1};
int dfs(int x, int y)
{
int cnt = 1;
st[x][y] = true;
for (int i = 0; i < 4; i ++ )
{
int a = x + dx[i], b = y + dy[i];
if (a < 0 || a >= n || b < 0 || b >= m) continue;
if (g[a][b] != '.') continue;
if (st[a][b]) continue;
cnt += dfs(a, b);
}
return cnt;
}
int main()
{
while (cin >> m >> n, n || m)
{
for (int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> g[i];
int x, y;
for (int i = 0; i < n; i ++ )
for (int j = 0; j < m; j ++ )
if (g[i][j] == '@')
{
x = i;
y = j;
}
memset(st, 0, sizeof st);
cout << dfs(x, y) << endl;
}
return 0;
}
DFS
排列数字
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=10;
int a[N];
bool st[N]; // 记录 哪些数是用过的
int n;
void dfs(int x)
{
if(x==n)
{
for(int i=0;i<n;i++) printf("%d ",a[i]);
puts("");
return;
}
// 之所以 i 从 0， 是因为 x 是从 0 开始的
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(!st[i])
{
st[i]=true; // 标记
a[x]=i+1;
dfs(x+1);
st[i]=false; // 恢复现场。
}
}
}
int main()
{
cin>>n;
dfs(0);
return 0;
}
n-皇后问题
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=10;
int col[N],ug[2*N],dug[2*N];
bool st[N];
char a[N][N];
int n;
void Dfs(int x)
{
if(x==n)
{
for(int i=0;i<n;i++)
{
puts(a[i]);
// puts("");
}
puts("");
return;
}
for(int i=0;i<n;i++)
{
/*
dug[y-x+n]： y = x + b ----> b = y - x (由于y-x 可能是负)---> b = y - x +n
ug[i+x] : y = -x+b ------> b = y + x
*/
if(!col[i]&&!ug[i+x]&&!dug[i-x+n])
{
col[i]=ug[i+x]=dug[i-x+n]=1;
a[x][i]='Q';
Dfs(x+1);
col[i]=ug[i+x]=dug[i-x+n]=0;
a[x][i]='.';
}
}
}
int main()
{
cin>>n;
for (int i = 0; i < n; i ++ )
for (int j = 0; j < n; j ++ )
a[i][j] = '.';
Dfs(0);
return 0;
}
记
a[x]=i+1;
dfs(x+1);
st[i]=false; // 恢复现场。
}
}
}
int main()
{
cin>>n;
dfs(0);
return 0;
}
###### n-皇后问题
```cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=10;
int col[N],ug[2*N],dug[2*N];
bool st[N];
char a[N][N];
int n;
void Dfs(int x)
{
if(x==n)
{
for(int i=0;i<n;i++)
{
puts(a[i]);
// puts("");
}
puts("");
return;
}
for(int i=0;i<n;i++)
{
/*
dug[y-x+n]： y = x + b ----> b = y - x (由于y-x 可能是负)---> b = y - x +n
ug[i+x] : y = -x+b ------> b = y + x
*/
if(!col[i]&&!ug[i+x]&&!dug[i-x+n])
{
col[i]=ug[i+x]=dug[i-x+n]=1;
a[x][i]='Q';
Dfs(x+1);
col[i]=ug[i+x]=dug[i-x+n]=0;
a[x][i]='.';
}
}
}
int main()
{
cin>>n;
for (int i = 0; i < n; i ++ )
for (int j = 0; j < n; j ++ )
a[i][j] = '.';
Dfs(0);
return 0;
}
标签：const,int,必备,cin,ACM,++,using,include,模板 来源： https://blog.csdn.net/weixin_46339668/article/details/121643820
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