标签：随笔 Vmst 最小 生成 算法 顶点 数据结构 Kruskal

一、最小生成树

        （一）生成树

在图的BFS和DFS算法中，我们可以得到图中顶点的一个线性序列，如果我们按照访问的次序将这些顶点之间的边连起来可以获得一棵树，我们将其称之为生成树。以下是一个图的两种生成树：

这是一个无向连通图：

其BFS树（从BFS的过程中获得的树）为

其DFS树（从DFS过程中获得的生成树）为：

        （二）最小生成树

对于一个带权图而言，总权值最小的生成树为最小生成树。

那么对于一个有V个顶点的带权图（网络）而言，其生成树必有V个顶点，V-1条边，那么在生成最小生成树时，我们必须要遵守以下三点准则：

（i）只能使用网络中的边进行构造；

（ii）用n-1条边来联结n个顶点；

（iii）所选用的边不能构成回路；

注意：最小生成树不一定唯一，当边的权重相同时可能出现多种最小树；

二、最小生成树的生成算法

对于一个带有V个顶点的网络G=<V，E>，我们介绍两种常用的最小生成树生成算法。

     I.Kruskal算法

       Kruskal算法的基本思想为：①以G中的所有顶点来构造一个森林T（即V个只有一个结点的树的集合）；②从G的边集E中选取权值最小的那一条边，并将它加入到T中，注意不要形成回路；③重复第二步，直到所有顶点都已联结或者当T中的边数<V-1时，E=∅，前一种情况表示最小生成树已经生成，后一种情况表示该网络无最小生成树；

下图为Kruskal算法生成最小生成树的一个例子：

Kruskal算法的伪代码描述：

 Kruskal：
 T =0; //T为最小生成树的集合，初始为空
 while ((T contains less than n-1 edges) && (E not Empty)) {
 choose an edge (v, w) from E of lowest cost;
 delete (v, w) from E; 
 if ((v, w) does not create a cycle in T) add (v, w) to T; 
 else discard (v, w);
 }
 if (T contains fewer than n-1 edges) 
cout<<“no spanning tree”<<endl;

算法中需要找到E中权值最小的一条边，我们可以使用最小堆来实现这一步骤，最小堆的结点为边结点<边的开始位置（head），边的结束位置（tail），权值（cost）>。

如何判断一条边在T内是否生成回路呢？我们可以用到并查集来实现这个步骤：并查集中的Find操作是搜索单元所在的集合，并返回该集合的名字；通过Find（tail），Find（head）是否相同就可以判断该边加入后是否会形成回路；如果不会，那么使用并查集的Union功能函数将两个集合合并，那么两个连通分量也就合并到了最小生成树中；

附：Kruskal算法正确性的证明：（来自Sartaj Sahni所著《Fundamentals of Data Structure in C++》)

        II.Prim算法

Prim算法也是不断迭代进行的（类似于BFS）。

对于一个带权图G=<V，E>，算法将顶点集G分为两个互不相交的部分，V=Vmst∪（V-Vmst），其中Vmst是最小生成树的点的集合，后者是不在最小生成树中的点的集合（记为N）；只考虑联通图的情况下，Vmst与T之间至少有一条边相连，我们称之为桥；

算法的核心思想：每一轮迭代中，挑选出权值最小的桥Em（u，v），u∈Vmst，v∈N，将顶点v加入到Vmst中，删除E；重复上述步骤直到Vmst中有n个顶点，n-1条边或者E为空；

下面是一个例子：

Prim算法伪代码描述：

TV = {0};

for (T = ∅; T contains fewer than n-1 edges; add (u, v) to T)

{

Let (u, v) be a least-cost edge such that u ∈ TV and v ∈TV;

if (there is no such edge) break;

add v to TV;

}

if (T contains fewer than n-1 edges)

cout<<“no spanning tree”<<endl;

Prim算法需要找出Vmst所有桥的权值最小桥，故也需要用到最小堆来实现这一步骤；

 

算法实现。。。emm。。。以后有时间再补吧

标签：随笔,Vmst,最小,生成,算法,顶点,数据结构,Kruskal
来源： https://www.cnblogs.com/yjx-7355608/p/15522103.html

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