标签：Description 训练 记录 传送门 Luogu sum Solution noip2021 dp
P3523 [POI2011]DYN-Dynamite
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经典树上 \(dp\)。
首先二分 \(mid\) 表示最远的距离。
设 \(f_{x}\) 表示距 \(x\) 最远的未被覆盖的关键点到 \(x\) 的距离，\(g_x\) 表示 \(x\) 到该子树中的选定点的最小距离。
初值显然：\(f_x = -inf\)，\(g_x = inf\)
转移方程：\(f_x = max \{ f_y + 1 \}\)，\(g_x = max\{ g_y + 1\}\)
但是并不是所有的点都能被选，所以要分类讨论一下：
- \(f_x + g_x \leq mid\)，可以直接覆盖，\(f_x = -inf\)。
- \(f_x = mid\)，此时选 \(x\)，那么 \(f_x = -inf\)，\(g_x = 0\)，\(ans++\)。
- \(g_x > mid\) 且 \(d_x = 1\)，这时就要扔给 \(fa_x\) 处理，所以 \(f_x = max\{ f_x, 0\}\)
P2324 [SCOI2005]骑士精神
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\(IDA*\) 板子题，乐观估价函数就是 \(5 \times 5\) 的目标矩阵和当前 dfs 到的矩阵中不同的点的个数。
爆搜即可。
P3205 [HNOI2010]合唱队
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经典区间 \(dp\)。
设 \(f_{i,j}\) 表示选了区间 \([i,j]\) 且最后一个人从左边进来的方案数，\(g_{i,j}\) 表示最后一个人从右边进来的方案数。
转移就很 easy 了：
\(f_{i,j} = f_{i + 1, j} \times (a_i < a_{i + 1}) + g_{i + 1, j} \times (a_i < a_{j})\)
\(g_{i, j} = g_{i, j - 1} \times (a_{j} > a_{j - 1}) + f_{i, j - 1} \times (a_j > a_i)\)
P2513 [HAOI2009]逆序对数列
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看到名字，本来以为又是树状数组维护什么东西，结果不是……
看了一眼题解发现要 \(dp\) 一下子，\(dp\) 就 \(dp\) 吧。
我们设 \(f_{i,j}\) 表示 \(i\) 的全排列中，逆序对数为 \(j\) 的个数。
我们考虑把 \(i\) 插入到 \(i - 1\) 的全排列中，枚举这次插入增加了 \(k\) 个逆序对。
那么转移方程就是：
\[f_{i, j} = \sum\limits_{k = max\{0, j - i + 1\}}^j{f_{i - 1, k}} \]朴素的转移是 \(O(n^2)\) 的，考虑优化。
优化也很简单，发现 \(k\) 是从 0 开始枚举的，做个前缀和即可。
P2592 [ZJOI2008]生日聚会
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模拟赛上考了原题，还是比较 easy 的。
发现数据范围还是很小的，考虑四维 \(dp\)。
设 \(dp_{i, j, c1, c2}\) 表示安排了 \(i\) 名男生，\(j\) 名女生，且后缀男生数量减去女生数量最大是 \(c1\)，最大后缀女生减男生数量是 \(c2\)。
转移就比较显然了，用刷表法（边界好处理一点）。
在最右边安排一名男生：
\[dp_{i + 1, j, c1 + 1, max\{ 0, c2 - 1\}} += dp_{i, j, c1, c2} \]安排女生同理。
P4295 [SCOI2003]严格N元树
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高精度板子
还是 \(dp\)，设 \(f_i\) 表示深度不超过 \(i\) 的严格 \(n\) 元树的个数。
转移的过程相当于再增加一个根，且新建的根节点需要 \(n\) 个子树。
那么转移方程就是：\(f_i = f_{i - 1}\, ^ n + 1\) （+1 就是只有自己）
简单吧，但是要用高精度（
P2607 [ZJOI2008]骑士
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基环树上 \(dp\) 板子。
（但是为什么全机房除了我其他人都做过啊啊啊，果然还是我太菜了 \(QwQ\)）
这道题给出的骑士之间的厌恶关系会形成基环树（森林），那么我们要在上面跑 \(dp\)。
以下按一棵基环树来讨论。
我们先找到环，然后选择上面的一个点为根，跑树形 \(dp\)，然后再换成与它相邻的一个点为根跑一遍树形 \(dp\)，取个最大值就是答案了（树形 \(dp\) 最下面再说）。
我们再来考虑基环树森林，其实是一样的。
主函数里枚举一遍所有的点，如果还没遍历过，就重复一次上述操作。
那么树形 \(dp\) 怎么跑？类似于 没有上司的舞会。
我们设 \(f_{x,0/1}\) 表示以 \(x\) 为根（\(x\) 选 或 不选）的子树中最大战斗力。
转移方程：
\[f_{x, 0} += max(f_{y, 0}, f_{y, 1}) \]\[f_{x, 1} += f_{y, 0} \]P4035 [JSOI2008]球形空间产生器
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高斯消元板子
不过还是要稍稍推一下式子的。
关于 \(n\) 维空间里两个点之间的距离题目下方的说明/提示里有。
这道题给我们的都是表面上的点，言外之意，到球心距离相等。
假设我们要求的球心坐标：\((x_1, x_2, x_3……x_n)\)
那么有：\(\sum\limits_{i = 1}^{n}{\sum\limits_{j = 1}^n(a_{i,j} - x_j)^2 = C}\)
但是这是个二次方程，还有个常数怎么办啊？
上下一减就完了，减的过程就不写了（懒得打字了），建议自己手推一下。
下面是化简完的式子：
\[\sum\limits_{j = 1}^n2(a_{i,j} - a_{i + 1, j})x_j = \sum\limits_{j = 1}^n(a_{i, j}^2 - a_{i + 1, j}^2) \]看着不清新？换元一下：
\[k_j = 2(a_{i, j} - a_{i + 1, j}) \]\[y_j = \sum\limits_{j = 1}^n(a_{i, j}^2 - a_{i + 1, j}^2) \]\[\sum\limits_{j = 1}^n(k_j \times x_j) = y_j \]对这个式子建个增广矩阵，跑个高斯消元就完了。
P2146 [NOI2015] 软件包管理器
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树链剖分板子题，不多说了。
P2375 [NOI2014] 动物园
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\(kmp\) 好题。但是讲一次忘一次
大概就是不能暴力调 \(next\) 数组，会被卡。
所以我们不用重置前一次跳到的坐标，每次往后跳一格，判断一下即可。
P4133 [BJOI2012]最多的方案
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记忆化搜索不解释。
记录一个斐波那契数列的前缀和，每次跟当前搜索到的要分解的数\(x\) 比一下。
如果 \(x > sum_{i - 1}\) ，当前位就必须选了，否则的话选或不选两种情况都搜一遍。
P1640 [SCOI2010]连续攻击游戏
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二分图匹配好题。
观察到每个物品只能用一次，即每次只用使用一个属性值。
那么我们把武器和属性值连边，从 1 开始枚举并跑匈牙利算法。
如果无法匹配直接break（题意要求），然后输出答案即可。
P1403 [AHOI2005]约数研究
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不能理解为什么是橙题……我怕不是连橙题都不会了……
通过打表发现，一段数的约数个数是一样的，每次让 \(i\) 等于 \(\frac{i}{n/i} + 1\) 中间的数整体算即可。
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