标签：le int sum atARC128F Robot Game 元素 2i mod

为了方便，下文中的$n$是原来的$\frac{n}{2}$

当确定排列$\{p_{i}\}$后，将$a_{i}$按照$p_{i}$从大到小排序，那么机器人即会不断选第一个元素

考虑玩家最后选择的$n$个元素，合法当且仅当$\forall 1\le i\le n,$其在前$2i$个元素至多选$i$个元素

必要性：考虑前$i$轮，机器人选的总在前$2i$个元素中，反之也即玩家至多在前$2i$个元素中选$i$个元素

充分性：每一轮，玩家不断选择第一个要选的元素

若这样的策略不合法，必然是某次机器人选了玩家要选的元素，假设第一次出现此情况是第$i$轮，由策略该元素前恰有$i$个玩家要选的元素和$i-1$个玩家不选的元素，也即前$2i$个元素中有$i+1$个元素，矛盾

反之也即等价于在后$2i$个元素中，至少选$i$个元素，考虑下述过程：

维护可重集$S$（初始为空），从大到小枚举$i\in [1,n]$，将$a_{2i-1},a_{2i}$加入$S$，并取出$S$中最大的元素（至少要再额外选一个），那么$n$次所取出的元素和即是答案

回到原问题，也即对$\{a_{i}\}$的所有排列求上述过程的答案和

将答案转化为$\sum_{x\in Z^{+}}$取出元素$\ge x$的次数，而对于一个确定的$x$，将元素按照是否$\ge x$标记为01，此时仅需考虑一个01序列的答案（取1的次数）

记$cnt_{i}$为后$2i$个位置中1的个数，则答案为$\min_{0\le i\le n}(cnt_{i}+n-i)$

对此进行归纳——

考虑第$i$次取元素时，$S$中已加入了$cnt_{i}$个1、取出了$\min_{0\le j<i}(cnt_{j}+(i-1)-j)$个1（记后者为$s$），显然取出1当且仅当$[cnt_{i}>s]$，进而(新)答案即$s+[cnt_{i}>s]$

代入式子，也即求证$\min_{0\le j\le i}(cnt_{j}+i-j)=s+[cnt_{i}>s]$，两者均可转换为$\min(s+1,cnt_{i})$，显然相等，即得证

交换排列和$x$的枚举顺序，问题即变为：求所有长为$2n$且恰有$k$个1的01序列上述答案之和

（其中$k$为$\ge x$的元素个数，由于01内部也是不同的，最后还要乘上$k!(2n-k)!$）

为了方便处理，对问题做以下变形——

将序列翻转并将0变为-1，记$sum_{i}$为前缀和，则答案为$n+\frac{\min_{0\le i\le n}sum_{i}}{2}$

$n$可以直接统计，后者转化为$-\sum_{x_{0}\in Z^{-}}[\min_{0\le i\le n}sum_{2i}\le 2x_{0}]$，并交换序列和$x_{0}$的枚举顺序

分析奇偶性，若$sum_{2i+1}\le 2x_{0}$则$sum_{2i}\le 2x_{0}$，进而不妨转换为$\min_{0\le i\le 2n}sum_{i}\le 2x_{0}$

简单构造，问题即统计从$(0,0)$到$(2n,2k-2n)$，每一步$x$坐标+1、$y$坐标$\pm 1$且与$x=2x_{0}$有公共点的路径数

这是一个经典问题，通过翻转可得答案为$\begin{cases}{2n\choose k}&(x_{0}\ge k-n)\\{2n\choose k-2x_{0}}&(x_{0}<k-n)\end{cases}$

将其累加，总答案为$\begin{cases}\sum_{k<i\le 2n,i\equiv k(mod\ 2)}{2n\choose i}&(k-n\ge 0)\\(n-k){2n\choose k}+\sum_{2n-k<i\le 2n,i\equiv k(mod\ 2)}{2n\choose i}&(k-n<0)\end{cases}$

两者都可以通过简单预处理快速求出，同时$x$的枚举仅需要考虑$x=a_{i}$的取值

时间复杂度为$o(n)$，可以通过

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 1000005
 4 #define mod 998244353
 5 #define ll long long
 6 int n,m,ans,a[N],fac[N],inv[N],sum[N];
 7 int C(int n,int m){
 8     return (ll)fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
 9 }
10 int calc(int k){
11     int ans=(ll)n*C(m,k)%mod;
12     if (k>=n)ans=(ans-sum[k+2]+mod)%mod;
13     else ans=(ans-((ll)(n-k)*C(m,k)+sum[m-k+2])%mod+mod)%mod;
14     return (ll)ans*fac[k]%mod*fac[m-k]%mod;
15 }
16 int main(){
17     fac[0]=inv[0]=inv[1]=1;
18     for(int i=1;i<N;i++)fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod;
19     for(int i=2;i<N;i++)inv[i]=(ll)(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
20     for(int i=1;i<N;i++)inv[i]=(ll)inv[i-1]*inv[i]%mod;
21     scanf("%d",&m),n=(m>>1);
22     for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d",&a[i]);
23     sort(a+1,a+m+1);
24     for(int i=m;i;i--)sum[i]=(sum[i+2]+C(m,i))%mod;
25     for(int i=1;i<=m;i++)
26         if ((i==1)||(a[i]!=a[i-1]))ans=(ans+(ll)(a[i]-a[i-1])*calc(m-i+1))%mod;
27     printf("%d\n",ans);
28     return 0;
29 }

View Code

 

标签：le,int,sum,atARC128F,Robot,Game,元素,2i,mod
来源： https://www.cnblogs.com/PYWBKTDA/p/15548738.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。