标签：ch 期望 int res HNOI2013 maxn frac 游走

题意

\(n\) 个点 \(m\) 条边的无向连通图，从 \(1\) 号点开始，每次从出边中随机选一条走，到 \(n\) 号点结束。每次经过一条边权值加上这条边的编号。要求给边从 \(1\) 到 \(m\) 标号，使得期望权值最小。

\(n\le 500,m\le125000\)

题解

两个很有用的 \(trick\) 就把这道题化繁为简了：

1. 用期望的线性性，将总期望转为求每条边被经过的期望次数。
2. 将边被经过的期望次数转为端点被经过的期望次数

然后就是很普通的期望 \(dp\) ，设 \(f_u\) 为 \(u\) 被经过的期望次数， \(d_u\) 为 \(u\) 的度数：

\[\begin{align*} &f_{u}=\sum\limits_{v\in \{v|(v,u)\in E 且 v\neq n\}} \frac{f_{v}}{d_u}\\ &f_1=1+\sum\limits_{v\in \{v|(v,1)\in E 且 v\neq n\}} \frac{f_{v}}{d_u} \end{align*} \]

\(n\leq500\) 高斯消元即可。然后 \(E((u,v))=\frac{f_u}{d_u}+\frac{f_v}{d_v}\) ，\(d_u\) 表示 \(u\) 点的度数。把边按期望排序然后编号即可。

• 注意 \(n\) 对与其相连的边没有贡献

留坑：为啥这道题矩阵一定可以消出来？是仅数据保证还是构造矩阵时就已保证？

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define ri register int
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn = 510;
double a[maxn][maxn];
int n,m,du[maxn],ok[maxn][maxn];
struct edge{
	int u,v;
	double E;
	friend bool operator <(edge x,edge y){return x.E > y.E;}
}e[maxn*maxn];
inline int rd(){
	int res = 0,f = 0;
	char ch = getchar();
	for(;!isdigit(ch);ch = getchar()) if(ch == '-') f = 1;
	for(;isdigit(ch);ch = getchar()) res = (res<<3) + (res<<1) + ch - 48;
	return f ? -res : res;
}
void gause(){
	for(ri i = 1;i <= n;++i){
		int pos;
		for(ri j = i;j <= n;++j) if(a[j][i] != 0) {pos = j;break;}
		if(pos ^ i) swap(a[pos],a[i]);
		double l = a[i][i];
		for(ri j = i;j <= n+1;++j) a[i][j] /= l;
		for(ri j = 1;j <= n;++j)
			if(j != i){
				l = a[j][i];
				for(ri k = i;k <= n+1;++k)
					a[j][k] -= l * a[i][k];
			}
	}
}
int main(){
	n = rd(),m = rd();
	for(ri i = 1,u,v;i <= m;++i){
		u = rd(),v = rd(),ok[u][v] = ok[v][u] = 1;
		e[i].u = u,e[i].v = v,du[u]++,du[v]++;
	}
	for(ri i = 1;i <= n;++i){
		a[i][i] = -1;
		for(ri j = 1;j < n;++j)
			if(ok[j][i]) a[i][j] = 1.0 / du[j];
		if(i == 1) a[i][n+1] = -1;
	}
	gause();
	for(ri i = 1;i <= m;++i){
		int u = e[i].u,v = e[i].v;
		e[i].E = 0;
		if(u != n) e[i].E += a[u][n+1] / du[u];
		if(v != n) e[i].E += a[v][n+1] / du[v];
	}
	sort(e + 1,e + m + 1);
	double ans = 0;
	for(ri i = 1;i <= m;++i) ans += e[i].E * i;
	printf("%.3lf\n",ans);
	return 0;
}

标签：ch,期望,int,res,HNOI2013,maxn,frac,游走
来源： https://www.cnblogs.com/Lumos1921/p/15513124.html

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