标签：&& 复杂度 元素 差分 数组 区间 前缀

一维前缀和

1. 建立原数组 a: a[1], a[2], a[3], ……, a[n];
2. 构造数组s : s[1], s[2], s[3] , ……,s[n];

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给定m个区间【l，r】让你求数组a(长度为n)在区间所有元素之和

暴力区间求和：
sum += a[l] + a[l + 1] + ……+ a[r];
时间复杂度：O(n + m)

利用前缀和：

数组s的构造：
s[i] = s[i - 1] + a[i];

输出：
区间【l, r】中a元素和：s[r] - s[l - 1]
原理：
s[r] = a[1] + a[2] + a[3] + ……+ a[r]
s[l - 1] = a[1] + a[2] + a[3] + ……+ a[l - 1]
s[r + 1] - s[l] = a[l] + ……+ a[r]

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一维差分

1. 建立原数组 a: a[1], a[2], a[3], ……, a[n];
2. 构造数组 b: b[1], b[2], b[3], ……, b[n];
3. 数组a为数组b的前缀和数组 a[i] = b[1] + b[2] + b[3] + ……+ b[i];

b数组的构造：
a[0] = 0;
b[1] = a[1] - a[0];
b[2] = a[2] - a[1];
b[3] = a[3] - a[2];
…
b[i] = a[i] - a[i - 1];
…
b[n] = a[n] - a[n - 1];

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给定一个区间[l, r],让我们把数组a在区间中每一个数都加c（a[l] + c, a[l + 1] + c, a[l + 2] + c……a[r] + c）, 时间复杂度O(n),对原数组进行m次操作，时间复杂度O(m * n);

若 对数组a进行差分

a[i] + c = (b[1] + b[2] + b[3] + ……+ b[i]) + c = b[1] + b[2] + b[3] + ……+(b[i] + c)

因为b[i] + c 所以 a 的所有元素都会加上 c

a[l] + c = b[1] + b[2] + b[3] + ……+ (b[l] + c)
a[l + 1] + c = b[1] + b[2] + b[3] + ……+ (b[l] + c) + b[l + 1]
a[l + 2] + c = b[1] + b[2] + b[3] + ……+ (b[l] + c) + b[l + 1] + b[l + 2]
…
a[n] + c = b[1] + b[2] + b[3] + ……+ (b[l] + c) + b[l + 1] + b[l + 2] + ……+ b[n]

又因为我们要的是区间【l , r】上的，所以我们要将 r（不包含）后面的数组 a 的元素全部减 c

同样的，我们可以对数组 b 进行操作，b[r + 1] = b[r + 1] - c

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总结

要想将数组a在区间【l， r】中得所有元素加 c 只需要 b[l] += c, b[r + 1] -= c
时间复杂度：O(n)

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来源： https://blog.csdn.net/lymww/article/details/120771918

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