标签： le Big sum displaystyle over 式子

一、记号

• 用求和记号可以很好地将很长的式子变为一个较短的式子。
  \[a_1+a_2+a_3+\dots+a_{n-1}+a_n=\sum_{i=1}^n a_i\]
  
• \(\sum\) 下面是下界，上面是求和的上界。上面的式子也可以这样写：
  \[a_1+a_2+a_3+\dots+a_{n-1}+a_n=\sum_{1 \le i \le n} a_i\]
• 这样的式子迭代性很强，可以多重求和： \(\displaystyle\sum_i\Big(\sum_ja_i+b_j\Big)\)

• 假设要算100内奇数平方的和，可以这样写： \(\displaystyle\sum_{k=1}^{100}k^2\ [k为奇数]\) （隐式表达）
  也可以这样： \(\displaystyle\sum_{k=0}^{49}(2k+1)^2\) （显示表达）

• \([P(i)]\)，表示一个判断条件。
  \[[P(i)]=\begin{cases} 1 &P(i)成立 \\ 0 &P(i)不成立 \end{cases}\]

  例如 \(\sum_d [n|d]\) 表示\(n\)的因数个数。

  也就是说和式的条件也可以写在里面：
  \[a_1+a_2+a_3+\dots+a_{n-1}+a_n=\sum_i a_i[1 \le i \le n]\]

二、和式的计算

• 分配律： \(\displaystyle\sum_i a_i\times b=b\times\sum_i a_i\)
• 结合律： \(\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i+\sum_{i=1}^n b_i=\sum_{i=1}^n a_i+b_i\)
• 广义分配律： \(\displaystyle\sum_i\Big(\sum_jf(i)g(j)[P(i)][Q(j)]\Big)=\Big(\sum_i f(i)[P(i)]\Big)\Big(\sum_j g(j)[Q(j)]\Big)\)
• 交换求和顺序： \(\displaystyle\sum_i\Big(\sum_ja_{i,j}[P(i,j)]\Big)=\sum_j\Big(\sum_ia_{i,j}[P(i,j)]\Big)\)

三、应用

求 \(\displaystyle\sum_{1\le j<k\le n}{1\over k-j}\) 的值？

\(\begin{aligned} 解：原式&=\sum_{j=1}^{n-1}\Big(\sum_{k=j+1}^n{1\over k-j}\Big) \\ &=\sum_{j=1}^{n-1}\Big(\sum_{k-j=1}^{n-j}{1\over k-j}\Big) \\ &=\sum_{j=1}^{n-1}\Big(\sum_{k=1}^{n-j}{1\over k}\Big) \\ &=\sum_{k=1}^{n}\Big(\sum_{j=1}^{n-k}{1\over k}\Big) \\ &=\sum_{k=1}^{n}\Big({1\over k}\sum_{j=1}^{n-k}1\Big) \\ &=\sum_{k=1}^{n}{1\over k}(n-k) \\ &=n\sum_{k=1}^{n}{1\over k}-1 \\ \end{aligned}\)
简单的运算把两重循环变为了一重循环，很好的降低了时间复杂度。

标签：,le,Big,sum,displaystyle,over,式子
来源： https://www.cnblogs.com/ezoiLZH/p/10410277.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。